In a triangle ABC, AC = BC and ∠CAB = 45°. Let E be the midpoint of AB. If CE is perpendicular to AB, find the area of the blue region in the figur...

Para encontrar a área da região azul, precisamos primeiro encontrar a área do triângulo ABC. Como AC = BC, então o triângulo ABC é um triângulo isósceles. Além disso, ∠CAB = 45°, então ∠ABC = ∠ACB = (180° - 45°)/2 = 67,5°. Podemos usar a lei dos cossenos para encontrar o comprimento de AB: AB² = AC² + BC² - 2(AC)(BC)cos(∠ACB) AB² = 2(AC²) - 2(AC²)cos(67,5°) AB = √(2(AC²) - 2(AC²)cos(67,5°)) AB ≈ 2,41AC Como E é o ponto médio de AB, então AE = BE = AB/2 ≈ 1,21AC. Como CE é perpendicular a AB, então CE divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos congruentes. Portanto, CE = AE/√2 ≈ 0,85AC. A área do triângulo ABC é: Área = (1/2)(AC)(AB) Área ≈ (1/2)(AC)(2,41AC) Área ≈ 1,21AC² A área do triângulo CEA é: Área = (1/2)(CE)(AE) Área ≈ (1/2)(0,85AC)(1,21AC) Área ≈ 0,514AC² A área da região azul é a diferença entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo CEA: Área azul ≈ 1,21AC² - 0,514AC² Área azul ≈ 0,696AC² Portanto, a área da região azul é aproximadamente 0,696 vezes a área do triângulo ABC.