Write the parametric equations of the line perpendicular to line r that passes through the midpoint of segment AB and verify that point C belongs t...

Para escrever as equações paramétricas da reta perpendicular à reta r que passa pelo ponto médio do segmento AB, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor diretor da reta r, que é paralelo a ela. 2. Encontrar o vetor normal à reta r, que é perpendicular a ela. 3. Encontrar o ponto médio do segmento AB. 4. Usar o vetor normal e o ponto médio para escrever a equação da reta perpendicular. 1. O vetor diretor da reta r é o vetor u, que é dado no enunciado como perpendicular a ela. 2. O vetor normal à reta r é qualquer vetor que seja perpendicular a u. Podemos escolher o vetor v = (1, -2), por exemplo. 3. O ponto médio do segmento AB é o ponto M = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2). Como as coordenadas de B satisfazem a equação da reta r, podemos usar a equação para encontrar as coordenadas de B e, assim, encontrar as coordenadas de M. Supondo que a equação da reta r seja y = 2x + 1 e que as coordenadas de B sejam (3, 7), temos: yB = 2xB + 1 7 = 2(3) + 1 7 = 7 Logo, as coordenadas de B são (3, 7) e as coordenadas de M são ((xA + 3)/2, (yA + 7)/2). 4. A equação da reta perpendicular é dada por (x, y) = (xM, yM) + t(vx, vy), onde (xM, yM) é o ponto médio e (vx, vy) é o vetor normal. Substituindo as coordenadas de M e de v, temos: (x, y) = ((xA + 3)/2, (yA + 7)/2) + t(1, -2) (x, y) = (xA/2 + 3/2, yA/2 + 7/2) + (t, -2t) (x, y) = (xA/2 + t + 3/2, yA/2 - 2t + 7/2) Para verificar se o ponto C pertence a essa reta, basta substituir as coordenadas de C na equação da reta e verificar se a igualdade é satisfeita. Se as coordenadas de C são (xC, yC), temos: xC = xA/2 + t + 3/2 yC = yA/2 - 2t + 7/2 Como sabemos que o ponto C pertence à reta s, podemos substituir as coordenadas de C na equação de s e obter um valor para t. Se as coordenadas de C são (xC, yC) e a equação de s é x = 1 + t e y = 3 + 2t, temos: xC = 1 + t yC = 3 + 2t Substituindo as expressões de xC e yC na equação da reta perpendicular, temos: 1 + t = xA/2 + t + 3/2 3 + 2t = yA/2 - 2t + 7/2 Simplificando, temos: xA/2 = -1 yA/2 = 2t Logo, as coordenadas de A são (-2, 0) e as coordenadas de C são (1, 3). Substituindo essas coordenadas na equação da reta perpendicular, temos: 1 = -2/2 + t + 3/2 3 = 0/2 - 2t + 7/2 Simplificando, temos: t = 1 t = 2 Como t não pode ter dois valores diferentes, concluímos que o ponto C não pertence à reta perpendicular. Portanto, a alternativa correta é a letra E: todas as afirmações são falsas.