2. (8-10-8-4 pts) Considere la función • : Z× Z13 → Z13 definida por n • a = 4 n · a. a) Demuestre que la función es una acción. Demostración: ...
2. (8-10-8-4 pts) Considere la función • : Z× Z13 → Z13 definida por n • a = 4
n · a.
a) Demuestre que la función es una acción.
Demostración: Sean n,m ∈ Z, a ∈ Z13, entonces:
m • (n • a) = m • (4n · a)
= 4m · 4n · a
= 4m+n · a
= (m+ n) • a
0 • a = 40 · a = 1 · a = a
Luego, la función es una acción.
b) Determine todas las órbitas distintas.
Desarrollo:
Orb(0) = {n • 0 : n ∈ Z} = {4n · 0 : n ∈ Z} = {0}
Orb(1) = {n • 1 : n ∈ Z} = {4n · 1 : n ∈ Z} = {1, 4, 3, 12, 9, 10}
Orb(2) = {n • 2 : n ∈ Z} = {4n · 2 : n ∈ Z} = {2, 8, 6, 11, 5, 7}
c) Graficar la(s) órbita(s) encontradas en el ı́tem b,
d) ¿Es la acción transitiva?
Desarrollo: La acción no es transitiva pues existen 3 órbitas distintas.
n · a.
a) Demuestre que la función es una acción.
Demostración: Sean n,m ∈ Z, a ∈ Z13, entonces:
m • (n • a) = m • (4n · a)
= 4m · 4n · a
= 4m+n · a
= (m+ n) • a
0 • a = 40 · a = 1 · a = a
Luego, la función es una acción.
b) Determine todas las órbitas distintas.
Desarrollo:
Orb(0) = {n • 0 : n ∈ Z} = {4n · 0 : n ∈ Z} = {0}
Orb(1) = {n • 1 : n ∈ Z} = {4n · 1 : n ∈ Z} = {1, 4, 3, 12, 9, 10}
Orb(2) = {n • 2 : n ∈ Z} = {4n · 2 : n ∈ Z} = {2, 8, 6, 11, 5, 7}
c) Graficar la(s) órbita(s) encontradas en el ı́tem b,
d) ¿Es la acción transitiva?
Desarrollo: La acción no es transitiva pues existen 3 órbitas distintas.
💡 1 Resposta
Ed 
A função • : Z× Z13 → Z13 definida por n • a = 4n · a é uma ação. Podemos demonstrar isso da seguinte forma: Sejam n, m ∈ Z e a ∈ Z13. Então temos: m • (n • a) = m • (4n · a) = 4m · (4n · a) = 4m+n · a = (m+ n) • a Também temos: 0 • a = 40 · a = 1 · a = a Portanto, a função é uma ação. Para determinar todas as órbitas distintas, temos: Orb(0) = {n • 0 : n ∈ Z} = {4n · 0 : n ∈ Z} = {0} Orb(1) = {n • 1 : n ∈ Z} = {4n · 1 : n ∈ Z} = {1, 4, 3, 12, 9, 10} Orb(2) = {n • 2 : n ∈ Z} = {4n · 2 : n ∈ Z} = {2, 8, 6, 11, 5, 7} Podemos representar graficamente essas órbitas. Quanto à transitividade da ação, a ação não é transitiva, pois existem 3 órbitas distintas.
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