Determine cual de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifique en cada caso. a) Si H y K son grupos entonces H ×K / H × {1K} ' K b...

Determine cual de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifique en cada caso.

a) Si H y K son grupos entonces H ×K / H × {1K} ' K
b) El grupo Z6 × Z9 es ćıclico.
c) Si τ es una permutación impar entonces τ2 es una permutación impar.
d) Todo grupo DiédricoDn es producto directo interno deH = {id, s} yN = {id, r, r2, . . . , rn−1}, donde s es la simetŕıa y r es la rotación de orden n.
e) El conjunto {(2, 1), (3, 1)} es una base para el grupo libre Z× Z.
2. (15 pts.) Si σ = (i1i2 . . . ir) ∈ Sn es un ciclo de largo r y τ ∈ Sn, es una permutación cualquiera, entonces τστ−1 = (τ(i1)τ(i2) . . . τ(ir))
3. (10 pts.) Sea G un grupo finito y sean H y K subgrupos normales de G, tales que G /H ' K. Demostrar que si el orden de G es igual al orden de HK entonces G es producto directo de H y K.
4. (10 pts.) Determine, salvo isomorfismo, todos los grupos abelianos G de orden 33 · 52 · 72.