Uma das aplicações do conceito de integração é o cálculo da área entre curvas. Este procedimento permite que sejam calculadas áreas que antes, com ...

Para determinar a área entre as curvas y = x² e y = x, podemos utilizar o cálculo de integração. Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para definir os limites de integração. Igualando as duas equações, temos: x² = x x² - x = 0 x(x - 1) = 0 Portanto, os pontos de interseção são x = 0 e x = 1. Agora, vamos calcular a integral da diferença entre as duas funções no intervalo [0, 1]: ∫(x - x²) dx = [x²/2 - x³/3] de 0 a 1 = (1/2 - 1/3) - (0 - 0) = 1/6 Portanto, a área entre as curvas y = x² e y = x é igual a 1/6. Assim, a alternativa correta é a letra A: Somente a opção III está correta.