Ejercicio 2.2.1. Demuestre que las matrices elementales tienen inversa.

Claro! Para demonstrar que as matrizes elementares têm inversa, podemos usar o fato de que uma matriz elementar é obtida a partir da matriz identidade por meio de uma única operação elementar. Uma matriz elementar é uma matriz quadrada que difere da matriz identidade apenas por uma única linha ou coluna modificada por uma operação elementar. As operações elementares incluem: 1. Multiplicar uma linha (ou coluna) por um escalar não nulo. 2. Trocar duas linhas (ou colunas) entre si. 3. Adicionar um múltiplo de uma linha (ou coluna) a outra linha (ou coluna). Agora, vamos considerar uma matriz elementar E. Seja I a matriz identidade. Podemos escrever E = I + A, onde A é uma matriz que representa a operação elementar realizada em I para obter E. Para mostrar que E tem uma inversa, precisamos encontrar uma matriz F tal que E * F = F * E = I, onde I é a matriz identidade. Podemos escrever F = I - A, onde A é a mesma matriz que usamos para obter E. Agora, vamos multiplicar E por F: E * F = (I + A) * (I - A) = I * I + I * (-A) + A * I + A * (-A) = I - A + A - A * A = I - A + A - A². Observe que A * A representa a operação elementar aplicada duas vezes, o que resulta em uma matriz nula. Portanto, A * A = 0. Agora, podemos simplificar a expressão anterior: E * F = I - A + A - A² = I - A + A - 0 = I. Portanto, mostramos que E * F = I, o que implica que E tem uma inversa F. Da mesma forma, podemos mostrar que F * E = I, o que completa a demonstração de que as matrizes elementares têm inversa. Espero que isso tenha ajudado! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.