Sea (A,+, ·) un anillo unitario. Demostrar que: 1) El elemento unidad 1 es una unidad. 2) Si u y v son unidades, entonces uv es una unidad, y se ve...

1) Para demostrar que el elemento unidad 1 es una unidad en el anillo A, debemos demostrar que existe un elemento x en A tal que 1 · x = x · 1 = 1. Dado que estamos trabajando con un anillo unitario, sabemos que existe un elemento unidad 1 en A. Por lo tanto, podemos tomar x = 1, y se cumple que 1 · 1 = 1 y 1 · 1 = 1. Por lo tanto, el elemento unidad 1 es una unidad en el anillo A. 2) Si u y v son unidades en el anillo A, entonces existen elementos u^-1 y v^-1 en A tales que u · u^-1 = u^-1 · u = 1 y v · v^-1 = v^-1 · v = 1. Queremos demostrar que el producto uv también es una unidad y que (uv)^-1 = v^-1 · u^-1. Para demostrar esto, podemos multiplicar (uv) por (v^-1 · u^-1) y ver si obtenemos el elemento unidad 1: (uv) · (v^-1 · u^-1) = u · (v · v^-1) · u^-1 = u · 1 · u^-1 = u · u^-1 = 1. Por lo tanto, hemos demostrado que si u y v son unidades en el anillo A, entonces uv también es una unidad y (uv)^-1 = v^-1 · u^-1. 3) Si u es una unidad en el anillo A, entonces existe un elemento u^-1 en A tal que u · u^-1 = u^-1 · u = 1. Queremos demostrar que u^-1 también es una unidad y que (u^-1)^-1 = u. Para demostrar esto, podemos multiplicar u^-1 por u y ver si obtenemos el elemento unidad 1: u^-1 · u = 1. Por lo tanto, hemos demostrado que si u es una unidad en el anillo A, entonces u^-1 también es una unidad y (u^-1)^-1 = u. 4) Si U es el conjunto formado por todas las unidades de A, entonces (U, ·) es un grupo. Para demostrar esto, debemos verificar las propiedades de grupo: - Cerradura: Dado que u y v son unidades en A, sabemos que uv también es una unidad (demostrado en el punto 2). Por lo tanto, el producto de dos elementos en U sigue estando en U. - Asociatividad: La multiplicación en el anillo A es asociativa, por lo que la multiplicación de elementos en U también es asociativa. - Elemento neutro: El elemento unidad 1 es una unidad en A y está en U. Por lo tanto, actúa como el elemento neutro en el grupo (U, ·). - Inverso: Dado que cada elemento en U tiene un inverso (demostrado en el punto 3), podemos afirmar que cada elemento en U tiene un inverso en U. Por lo tanto, hemos demostrado que (U, ·) es un grupo.