Cálculo Avançado-N Comp E Equações Diferenciais(EMC 101)-Gabar Unid 1Tóp 3

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Gabarito Detalhado 
Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais 
Unidade 1 
Tópico 3 – Limite e Continuidade de Funções Complexas 
 
Questão 1: Calcule os limites a seguir: 
Resolução: O primeiro passo para calcular o limite basta substituir o valor que 𝑧𝑧 está 
tendendo na função, caso encontre algum problema precisamos utilizar outra técnica. 
𝑎𝑎) lim
𝑧𝑧→1+𝑖𝑖
 
𝑧𝑧̅
𝑧𝑧
 =
1 − 𝑖𝑖
1 + 𝑖𝑖
=
1 − 𝑖𝑖
1 + 𝑖𝑖
⋅
1 − 𝑖𝑖
1 − 𝑖𝑖
=
1 − 2𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2
1 + 1
=
−2𝑖𝑖
2
= −𝑖𝑖. 
𝑏𝑏) lim
𝑧𝑧→0
 
𝑧𝑧2
𝑧𝑧̅
 = lim
𝑧𝑧→0
𝑧𝑧 ⋅ 𝑧𝑧̅
𝑧𝑧̅
= lim
𝑧𝑧→0
𝑧𝑧 = 0 
𝑐𝑐) lim
𝑧𝑧→2+𝑖𝑖
 
Re(𝑧𝑧)
|𝑧𝑧|
 =
Re(2 + 𝑖𝑖)
√22 + 12
=
2
√5
=
2√5
5
. 
𝑑𝑑) lim
𝑧𝑧→𝑖𝑖
 
[Im(𝑧𝑧)]2
|𝑧𝑧|
 =
[Im(𝑖𝑖)]2
√12
=
12
1
= 1 
𝑒𝑒) lim
𝑧𝑧→−1
 
𝑧𝑧 + 3𝑖𝑖
2
 =
−1 + 3𝑖𝑖
2
 
𝑓𝑓) lim
𝑧𝑧→1+𝑖𝑖
 
𝑧𝑧2 − 5
𝑖𝑖𝑧𝑧
 =
(1 + 𝑖𝑖)2 − 5
𝑖𝑖(1 + 𝑖𝑖)
=
1 + 2𝑖𝑖 − 1 − 5
𝑖𝑖 − 1
=
−5 + 2𝑖𝑖
−1 + 𝑖𝑖
=
−5 + 2𝑖𝑖
−1 + 𝑖𝑖
⋅
−1 − 𝑖𝑖
−1 − 𝑖𝑖
=
5 + 5𝑖𝑖 − 2𝑖𝑖 + 2
1 + 1
=
7 + 3𝑖𝑖
2
 
𝑔𝑔) lim
𝑧𝑧→𝑖𝑖
 
𝑧𝑧(𝑧𝑧2 + 1)
𝑧𝑧 − 1
 =
𝑖𝑖(𝑖𝑖2 + 1)
𝑖𝑖 − 1
=
𝑖𝑖 ⋅ 0
𝑖𝑖 − 1
= 0. 
 
Questão 2: Determine se as funções complexas são contínuas no ponto dado: 
𝑎𝑎) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) =
𝑧𝑧3 + 8
𝑧𝑧4 + 4𝑧𝑧2 + 16
 em 𝑧𝑧 = 0 
Resolução: A função 𝑓𝑓 é contínua pois satisfaz as condições de continuidade 
 𝑖𝑖) 𝑓𝑓(0) =
03 + 8
04 + 4 ⋅ 02 + 16
=
8
16
=
1
2
 
 𝑖𝑖𝑖𝑖) lim
𝑧𝑧→0
𝑓𝑓(𝑧𝑧) =
03 + 8
04 + 4 ⋅ 02 + 16
=
8
16
=
1
2
 
 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖)𝑓𝑓(0) = lim
𝑧𝑧→0
𝑓𝑓(𝑧𝑧). 
𝑏𝑏) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = �
𝑧𝑧2 + 4
𝑧𝑧 − 2𝑖𝑖
, 𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑧𝑧 ≠ 2𝑖𝑖
4𝑖𝑖, 𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑧𝑧 = 2𝑖𝑖
 em 𝑧𝑧 = 2𝑖𝑖 
Resolução: A função 𝑓𝑓 é contínua pois satisfaz as condições de continuidade 
 𝑖𝑖) 𝑓𝑓(2𝑖𝑖) = 4𝑖𝑖 
 𝑖𝑖𝑖𝑖) lim
𝑧𝑧→2𝑖𝑖
𝑓𝑓(𝑧𝑧) = lim
𝑧𝑧→2𝑖𝑖
𝑧𝑧2 + 4
𝑧𝑧 − 2𝑖𝑖
= lim
𝑧𝑧→2𝑖𝑖
(𝑧𝑧 − 2𝑖𝑖)(𝑧𝑧 + 2𝑖𝑖 )
𝑧𝑧 − 2𝑖𝑖
= lim
𝑧𝑧→2𝑖𝑖
𝑧𝑧 + 2𝑖𝑖 = 2𝑖𝑖 + 2𝑖𝑖 = 4𝑖𝑖 
 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝑓𝑓(2𝑖𝑖) = lim
𝑧𝑧→2𝑖𝑖
𝑓𝑓(𝑧𝑧).