Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos Concluimos que (m) es ideal de Z. 2. Sea f : A → B un homomorfismo de anillos. Sabemos que ker f es sub-grupo aditiv...

Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos
Concluimos que (m) es ideal de Z.
2. Sea f : A → B un homomorfismo de anillos. Sabemos que ker f es sub-grupo aditivo de A, por tanto ker f 6= ∅ y para todo x, y ∈ I se verifica x− y ∈ I. Por otra parte, ∀a ∈ A y ∀x ∈ I :
f(ax) = f(a)f(x) = f(a) · 0 = 0⇒ ax ∈ ker f.
f(xa) = f(x)f(a) = 0 · f(a) = 0⇒ xa ∈ ker f.
Concluimos que ker f es ideal de A.
3. Sea A un anillo e I un ideal de A. Entonces I 6= ∅ y x− y ∈ I para todo x, y ∈ I. Por otra parte, al cumplirse ax ∈ I y xa ∈ I para todo a ∈ A, x ∈ I, también se cumple yx ∈ I xy ∈ I para todo y ∈ I, x ∈ I.
Por el teorema de caracterización de subanillos, concluimos que I es subani-llo de A.
4. a) Se verifica 0 = 0a1 + · · · 0an, por tanto 0 ∈ (a1, . . . , an) 6= ∅. Si x e y son elementos de (a1, . . . , an),
x = r1a1 + · · · rnan, ri ∈ R,
y = r′1a1 + · · · r′nan, r′i ∈ R.
Entonces, x− y = (r1 − r′1)a1 + · · · (rn − r′n)an con ri − r′i ∈ R, luego x− y ∈ (a1, . . . , an).
Si r ∈ R entonces rx = (rr1)a1 + · · · (rrn)an con rri ∈ R, luego rx ∈ (a1, . . . , an).
b) Para todo ai se verifica ai = 0a1 + · · ·+ 1ai + · · ·+ 0an, por tanto {a1, . . . , an} ⊂ (a1, . . . , an).
Sea ahora un ideal I de R que contiene a {a1, . . . , an}. Entonces, si x ∈ (a1, . . . , an), al ser de la forma x = r1a1 + · · · rnan con ri ∈ R y los ai ∈ I, necesariamente x ∈ I por ser I ideal. Es decir, (a1, . . . , an) ⊂ I.
5. Como I, J son ideales de A, son subanillos de este, por tanto 0 pertenece a ambos, con lo cual 0 = 0 + 0 ∈ I + J. Es decir, I + J 6= ∅. Si x, y ∈ I + J, entonces x = i1 + j1 con i1 ∈ I, j1 ∈ J e y = i2 + j2 con i2 ∈ I, j2 ∈ J.
Entonces,
x− y = (i1 + j1)− (i2 + j2) = (i1 − i2) + (j1 − j2),