7.6. Matriz inversa (2) 1. Sean A y B dos matrices invertibles de orden n. Demostrar que AB es invertible y que (AB)−1 = B−1A−1. 2. Se considera la...

1. Para demonstrar que AB é invertível e que (AB)^-1 = B^-1A^-1, podemos usar a propriedade da matriz inversa. Se A e B são matrizes invertíveis de ordem n, então existe a matriz inversa de A, denotada por A^-1, e a matriz inversa de B, denotada por B^-1. Podemos multiplicar AB pela matriz inversa de AB para obter a identidade: (AB)(AB)^-1 = I Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes, podemos reescrever a expressão como: A(B(AB)^-1) = I Agora, vamos substituir (AB)^-1 por B^-1A^-1: A(BB^-1A^-1) = I Usando a propriedade da matriz inversa, sabemos que BB^-1 é igual à identidade: AIA^-1 = I Simplificando a expressão, temos: AA^-1 = I Isso mostra que A é invertível, e sua matriz inversa é A^-1. 2. Para calcular AtA, precisamos primeiro calcular a matriz transposta de A, denotada por At. A matriz transposta é obtida trocando as linhas pelas colunas da matriz original. Dada a matriz A: A = [a -b -c -d] [b a d -c] [c -d a b] [d c -b a] A matriz transposta de A, At, é: At = [a b c d] [-b a -d c] [-c d a -b] [-d -c b a] Agora, podemos calcular AtA multiplicando At por A: AtA = [a b c d] [a -b -c -d] [b a d -c] x [b a d -c] [c -d a b] [c -d a b] [d c -b a] [d c -b a] Realizando a multiplicação de matrizes, obtemos: AtA = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ab - ba - cd + dc ac - bd + ca - db ad + bc - cb - da ab - ba - cd + dc a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ad + bc - cb - da ac - bd + ca - db ac - bd + ca - db ad + bc - cb - da a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ab - ba - cd + dc ad + bc - cb - da ac - bd + ca - db ab - ba - cd + dc a^2 + b^2 + c^2 + d^2 Agora, podemos usar o resultado AtA para calcular A^-1. A matriz inversa de A é dada por: A^-1 = (AtA)^-1 * At 3. Para demonstrar que A é invertível e expressar A^-1 em função de B e C, podemos usar a propriedade da matriz inversa. Dada a expressão (BA)tB^-1(CB^-1)^-1 = I, podemos reescrevê-la como: (BA)t(B^-1(CB^-1)^-1) = I Usando a propriedade da matriz inversa, sabemos que B(B^-1) e C(C^-1) são iguais à identidade: (BA)t(I)(CB^-1)^-1 = I Simplificando a expressão, temos: (BA)t(CB^-1)^-1 = I Usando a propriedade da matriz transposta, podemos reescrever (BA)t como A(Bt): A(Bt)(CB^-1)^-1 = I Multiplicando A por Bt, temos: (A(Bt))(CB^-1)^-1 = I Usando a propriedade da matriz inversa, sabemos que (CB^-1)^-1 é igual a C^-1(B^-1)^-1: (A(Bt))(C^-1(B^-1)^-1) = I Simplificando a expressão, temos: (ABt)(C^-1B^-1) = I Agora, podemos ver que ABt é invertível, pois sua inversa é (C^-1B^-1). Portanto, A também é invertível, e sua matriz inversa é (C^-1B^-1).