8. Sean A ∈Mm(R) y B ∈Mn(R) matrices invertibles y sea C ∈Mm×n(R). a) Obtener las matrices X,Y, Z en función de A,B,C de manera que se satisfaga l...

8. Sean A ∈Mm(R) y B ∈Mn(R) matrices invertibles y sea C ∈Mm×n(R).
a) Obtener las matrices X,Y, Z en función de A,B,C de manera que se
satisfaga la ecuación matricial:[
A C
O B
] [
X Z
O Y
]
=
[
Im O
O In
].
b) Usar el resultado del apartado anterior, calcular la inversa de la matriz:
N =

1 0 −1 1
0 1 1 −1
0 0 −1 1
0 0 1 1
 .
Solución. 1. Tenemos las equivalencias:
AX = B ⇔ A−1(AX) = A−1B ⇔ (A−1A)X = A−1B
⇔ IX = A−1B ⇔ X = A−1B.
La única solución de la ecuación AX = B es por tanto la matriz cuadrada de
orden n, X = A−1B. Para la ecuación concreta dada, y teniendo en cuenta
que la matriz de la izquierda es invertible:
X =
1 0 12 1 0
3 1 0
−1  6 4 27 6 5
10 8 6
 = . . . =
3 2 11 2 3
3 2 1
 .
2. Tenemos las equivalencias:
XA = B ⇔ (XA)A−1 = BA−1 ⇔ X(AA−1) = BA−1
⇔ XI = BA−1 ⇔ X = BA−1.