Para encontrar a forma trigonométrica (ou polar) do número complexo \( z = 2 - 2i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: O módulo \( r \) de um número complexo \( z = a + bi \) é dado por: \[ r = \sqrt{a^2 + b^2} \] Neste caso, \( a = 2 \) e \( b = -2 \): \[ r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] Aqui, \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{2}\right) = \tan^{-1}(-1) \). O ângulo correspondente é \( -\frac{\pi}{4} \) (ou \( 7\frac{\pi}{4} \) se preferir a forma positiva). 3. Forma Trigonométrica: A forma trigonométrica é dada por: \[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \] Substituindo os valores: \[ z = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Portanto, a forma trigonométrica de \( z = 2 - 2i \) é: \[ z = 2\sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \]