Caṕıtulo 7. Matrices sobre un cuerpo La única solución de la ecuación AX = B es por tanto la matriz cuadrada de orden n, X = BA−1. Para la ecua...

Caṕıtulo 7. Matrices sobre un cuerpo
La única solución de la ecuación AX = B es por tanto la matriz cuadrada de orden n, X = BA−1. Para la ecuación concreta dada, y teniendo en cuenta que el coeficiente de X es una matriz invertible:
X =
[
11 22
6 4
] [
3 2
2 5
]−1
= . . . =
[
1 4
2 0
]
.
3. Tenemos las equivalencias:
AXB = C ⇔ A−1(AXB)B−1 = A−1CB−1
⇔ (A−1A)X(BB−1) = A−1CB−1 ⇔ IXI = A−1CB−1 ⇔ X = A−1CB−1.
La única solución de la ecuación AXB = C es por tanto la matriz cuadrada de orden n, X = A−1CB−1. Para la ecuación concreta dada, y teniendo en cuenta que las matrices que multiplican a X por la izquierda y derecha son invertibles:
X =
[
1 2
2 5
]−1 [
5 7
12 17
] [
2 3
1 1
]−1
= . . . =
[
0 1
1 0
]
.
4. El sistema se puede escribir en la forma
Ax = b, con A =
2 −1 −13 4 −2
3 −2 4
 , x =
x1x2
x3
 , b =
 411
11
 .
La matriz A es invertible, como fácilmente se comprueba. Entonces,
Ax = b⇔ A−1(Ax) = A−1b⇔ (A−1A)x = A−1b⇔ Ix = A−1b⇔ x = A−1b.
Por tanto,
x = A−1b =
2 −1 −13 4 −2
3 −2 4
−1  411
11
 = . . . =
31
1
 .
5. La matriz coeficiente de X tiene determinante nulo. Determinemos las soluciones de la ecuación dada, planteando un sistema lineal.[
1 −1
−1 1
]
X =
[
−1 1
1 −1
]
⇔
[
1 −1
−1 1
] [
x1 x2
x3 x4
]
=
[
−1 1
1 −1
]
⇔

x1 − x3 = −1
−x1 + x3 = 1
x2 − x4 = 1
−x2 + x4 = −1
⇔
{
x1 − x3 = −1
x2 − x4 = 1.