1 - Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60°. Afastando-se do edifício mais 30 m, passa a ver o edifício sob â...

Para determinar a altura do prédio, podemos usar a trigonometria. Vamos chamar a altura do prédio de "h" e a distância inicial entre o observador e o prédio de "x". Podemos estabelecer a seguinte relação trigonométrica: tan(60°) = h / x Afastando-se 30 m do prédio, a nova distância entre o observador e o prédio será "x + 30". Nesse caso, podemos estabelecer a seguinte relação trigonométrica: tan(45°) = h / (x + 30) Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar o valor de "h". Substituindo o valor de tan(60°) = √3 e tan(45°) = 1 na primeira equação, temos: √3 = h / x E substituindo o valor de tan(45°) = 1 na segunda equação, temos: 1 = h / (x + 30) Podemos igualar as duas expressões para eliminar "h": √3 = 1 / (x + 30) Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de "x". Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 3 = 1 / (x + 30)^2 Multiplicando ambos os lados por (x + 30)^2, temos: 3(x + 30)^2 = 1 Expandindo o lado esquerdo da equação, temos: 3(x^2 + 60x + 900) = 1 Simplificando a equação, temos: 3x^2 + 180x + 2700 = 1 3x^2 + 180x + 2699 = 0 Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de "x". Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a Substituindo os valores de a = 3, b = 180 e c = 2699, temos: x = (-180 ± √(180^2 - 4 * 3 * 2699)) / (2 * 3) Calculando o valor dentro da raiz, temos: x = (-180 ± √(32400 - 32388)) / 6 x = (-180 ± √12) / 6 Simplificando a raiz, temos: x = (-180 ± 2√3) / 6 Dividindo todos os termos por 2, temos: x = -90 ± √3 / 3 Portanto, existem duas soluções para "x": x = -90 + √3 / 3 e x = -90 - √3 / 3. Agora, podemos substituir o valor de "x" em uma das equações trigonométricas para encontrar o valor de "h". Vamos usar a primeira equação: √3 = h / x Substituindo o valor de x = -90 + √3 / 3, temos: √3 = h / (-90 + √3 / 3) Multiplicando ambos os lados por (-90 + √3 / 3), temos: √3 * (-90 + √3 / 3) = h Simplificando a expressão, temos: h = -90√3 + (√3 / 3)^2 h = -90√3 + 3 / 3 h = -90√3 + 1 Portanto, a altura do prédio é -90√3 + 1.