Para resolver essa equação diferencial de segunda ordem homogênea, podemos usar o método da equação característica. Primeiro, encontramos as raízes da equação característica, que é dada por 4r^2 - 8r + 3 = 0. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes r1 = 1/2 e r2 = 3/2. A solução geral da equação diferencial é dada por y(t) = c1 * e^(r1*t) + c2 * e^(r2*t), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Aplicando as condições iniciais y(0) = 2 e y'(0) = 1, podemos encontrar os valores de c1 e c2. Substituindo t = 0 e y(0) = 2 na equação geral, temos: 2 = c1 * e^(1/2*0) + c2 * e^(3/2*0) 2 = c1 + c2 Agora, derivando a equação geral em relação a t e substituindo t = 0 e y'(0) = 1, temos: 1 = c1 * (1/2) * e^(1/2*0) + c2 * (3/2) * e^(3/2*0) 1 = (1/2) * c1 + (3/2) * c2 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos c1 = 1/2 e c2 = 3/2. Portanto, a solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: y(t) = (1/2) * e^(1/2*t) + (3/2) * e^(3/2*t) Portanto, a alternativa correta é a letra d. y = (1/2) * e^(3/2*t) + (5/2) * e^(1/2*t).