Uma pequena esfera de massa m=100g, raio r=1,0 cm e momento de inércia I=(2/5)mr 2 é largada do repouso no ponto A e rola sem deslizar ao longo de ...

(a) Para determinar a velocidade de centro de massa e a velocidade angular da esfera no ponto C, podemos utilizar a conservação de energia. Inicialmente, a esfera está no ponto A e possui apenas energia potencial gravitacional. No ponto C, toda a energia potencial gravitacional é convertida em energia cinética de translação e energia cinética de rotação. A energia potencial gravitacional no ponto A é dada por Ep = mgh, onde m é a massa da esfera, g é a aceleração da gravidade e h é a altura do plano inclinado. A energia cinética de translação no ponto C é dada por Ec = (1/2)mv^2, onde v é a velocidade de centro de massa da esfera. A energia cinética de rotação no ponto C é dada por Er = (1/2)Iω^2, onde I é o momento de inércia da esfera e ω é a velocidade angular da esfera. Como a esfera rola sem deslizar, a velocidade de centro de massa está relacionada à velocidade angular pela equação v = ωr, onde r é o raio da esfera. Substituindo as equações acima, temos: Ep = Ec + Er mgh = (1/2)mv^2 + (1/2)Iω^2 mgh = (1/2)mv^2 + (1/2)(2/5)mr^2ω^2 Podemos simplificar a equação substituindo o valor de I = (2/5)mr^2: mgh = (1/2)mv^2 + (1/2)(2/5)mr^2ω^2 mgh = (1/2)mv^2 + (1/2)(2/5)mr^2(ω^2) mgh = (1/2)mv^2 + (1/5)mv^2 mgh = (3/10)mv^2 Agora, podemos cancelar a massa m em ambos os lados da equação: gh = (3/10)v^2 Isolando v^2, temos: v^2 = (10/3)gh Finalmente, podemos obter a velocidade de centro de massa v no ponto C tomando a raiz quadrada de ambos os lados da equação: v = √((10/3)gh) A velocidade angular ω no ponto C é dada por ω = v/r, onde r é o raio da esfera. (b) A energia cinética de translação no ponto C é dada por Ec = (1/2)mv^2, onde v é a velocidade de centro de massa da esfera. A energia cinética de rotação no ponto C é dada por Er = (1/2)Iω^2, onde I é o momento de inércia da esfera e ω é a velocidade angular da esfera. Substituindo os valores conhecidos, temos: Ec = (1/2)m(√((10/3)gh))^2 Ec = (1/2)m(10/3)gh Ec = (5/3)mgh Er = (1/2)(2/5)mr^2(√((10/3)gh)/r)^2 Er = (1/2)(2/5)m(10/3)gh Er = (1/3)mgh (c) A aceleração da esfera ao longo do plano inclinado AB pode ser determinada utilizando a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante com a massa e a aceleração: F = m * a No plano inclinado, a força resultante é a componente da força peso ao longo do plano, que é dada por F = m * g * sen(θ), onde θ é o ângulo de inclinação do plano. Substituindo os valores conhecidos, temos: F = m * g * sen(θ) F = m * g * sen(30°) A aceleração a é dada por a = F / m: a = (m * g * sen(30°)) / m a = g * sen(30°) Portanto, a aceleração da esfera ao longo do plano inclinado AB é igual a g * sen(30°).