(10 Puntos) Determinar si el conjunto B es una base para el espacio vectorial V dado. Si es una base debes demostrarlo, y si no es una base debes e...

Para determinar si el conjunto B es una base para el espacio vectorial V dado, debemos verificar dos condiciones: 1. Independencia lineal: Verificar si los vectores en B son linealmente independientes. Podemos hacer esto formando una matriz con los vectores de B como columnas y resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo Ax = 0, donde A es la matriz formada por los vectores de B. Si la única solución es x = 0, entonces los vectores son linealmente independientes. 2. Generación del espacio: Verificar si los vectores en B generan todo el espacio vectorial V. Esto significa que cualquier vector en V puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores en B. En el caso de V = R3 y B = {(10, 1, 0), (-11, 0, 1), (0, 1, 1)}, podemos realizar estas verificaciones: 1. Independencia lineal: Formamos la matriz A con los vectores de B como columnas: A = | 10 -11 0 | | 1 0 1 | | 0 1 1 | Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneo Ax = 0: 10x - 11y = 0 x + z = 0 y + z = 0 La única solución es x = y = z = 0, lo que indica que los vectores son linealmente independientes. 2. Generación del espacio: Tomamos un vector genérico en V, (a, b, c), y tratamos de expresarlo como una combinación lineal de los vectores en B: (a, b, c) = k1(10, 1, 0) + k2(-11, 0, 1) + k3(0, 1, 1) Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que k1 = a/10, k2 = (11b - c)/10 y k3 = (c - b)/10. Esto demuestra que cualquier vector en V puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores en B. Por lo tanto, el conjunto B = {(10, 1, 0), (-11, 0, 1), (0, 1, 1)} es una base para el espacio vectorial V = R3.