Questão 8. Determine e esboce o domı́nio da função. (a) f(x, y) = xy √ x2 + y (b) f(x, y) = √ 9− x−y2 x+ 2y (c) f(x, y) = x2 + y2 x2 − y2 (d) f(...

Para determinar e esboçar o domínio de uma função, precisamos analisar as restrições que podem existir nos valores de x e y. Vamos analisar cada uma das opções: (a) f(x, y) = xy O domínio dessa função é todo o plano xy, pois não há restrições para os valores de x e y. (b) f(x, y) = √(9− x−y^2)/(x+ 2y) Para que a raiz quadrada esteja definida, o radicando (9− x−y^2)/(x+ 2y) deve ser maior ou igual a zero. Além disso, o denominador (x+ 2y) não pode ser igual a zero. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | (9− x−y^2)/(x+ 2y) ≥ 0 e (x+ 2y) ≠ 0} (c) f(x, y) = (x^2 + y^2)/(x^2 − y^2) Nesse caso, o denominador (x^2 − y^2) não pode ser igual a zero. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | (x^2 − y^2) ≠ 0} (d) f(x, y) = tg(x− y) A função tangente (tg) está definida para todos os valores de x e y, exceto quando o ângulo (x− y) é igual a π/2 + kπ, onde k é um número inteiro. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | (x− y) ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z} (e) f(x, y) = ln(xy− 1) Para que o logaritmo natural esteja definido, o argumento (xy− 1) deve ser maior que zero. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | xy− 1 > 0} (f) f(x, y) = ln(x^2 − y^2) Assim como no caso anterior, o logaritmo natural está definido apenas quando o argumento (x^2 − y^2) é maior que zero. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | x^2 − y^2 > 0} (g) f(x, y) = x^2 sec y A função secante (sec) está definida para todos os valores de y, exceto quando o cosseno (cos) é igual a zero. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | cos y ≠ 0} (h) f(x, y) = sen^−1(x+ y) A função arcseno (sen^−1) está definida para todos os valores de x+ y, desde que estejam no intervalo [-1, 1]. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | -1 ≤ x+ y ≤ 1} (i) f(x, y) = √(4− 2x^2 − y^2) Assim como nos casos anteriores, a raiz quadrada está definida apenas quando o radicando (4− 2x^2 − y^2) é maior ou igual a zero. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | 4− 2x^2 − y^2 ≥ 0} (j) f(x, y) = ln(x) + ln(seny) Para que os logaritmos estejam definidos, tanto x quanto sen y devem ser maiores que zero. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | x > 0 e sen y > 0} (k) f(x, y) = √(y− xln(y+ x)) Assim como nos casos anteriores, a raiz quadrada está definida apenas quando o radicando (y− xln(y+ x)) é maior ou igual a zero. Portanto, o domínio dessa função é dado por: D = {(x, y) | y− xln(y+ x) ≥ 0} Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.