Ex.: prove que X = [0,1] é compacto. f) Conjunto Aberto; g) Ponto Aderente; h) Conjunto Fechado; i) Ponto de Acumulação; j) Conjunto Compacto;

Para provar que o conjunto X = [0,1] é compacto, podemos utilizar a definição de compacto em termos de cobertura. Um conjunto é compacto se, para qualquer cobertura aberta do conjunto, é possível selecionar um subconjunto finito dessa cobertura que ainda cobre todo o conjunto. No caso do conjunto X = [0,1], podemos considerar uma cobertura aberta qualquer, que consiste em uma coleção de intervalos abertos que cobrem X. Agora, para provar que X é compacto, precisamos mostrar que é possível selecionar um subconjunto finito dessa cobertura que ainda cobre todo o conjunto X. No entanto, para o conjunto X = [0,1], podemos observar que qualquer cobertura aberta de X pode ser reduzida a uma cobertura finita. Isso ocorre porque, para qualquer intervalo aberto que cobre X, podemos sempre encontrar um subintervalo menor que também cobre X. Portanto, podemos selecionar um número finito de subintervalos dessa cobertura aberta que ainda cobrem todo o conjunto X. Assim, concluímos que o conjunto X = [0,1] é compacto, pois para qualquer cobertura aberta de X, é possível selecionar um subconjunto finito dessa cobertura que ainda cobre todo o conjunto.