Sejam A(4, 1,-3), B(m,3,5) e C(0,-3,1) vértices de um triângulo determine: a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Calcular a m...

a) Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, o produto escalar entre os vetores AB e AC deve ser igual a zero. Vamos calcular esses vetores: AB = (m - 4, 3 - 1, 5 + 3) = (m - 4, 2, 8) AC = (0 - 4, -3 - 1, 1 - (-3)) = (-4, -4, 4) Agora, vamos calcular o produto escalar entre AB e AC: AB · AC = (m - 4)(-4) + 2(-4) + 8(4) AB · AC = -4m + 16 - 8 + 32 AB · AC = -4m + 40 Para que o triângulo seja retângulo em A, o produto escalar deve ser igual a zero: -4m + 40 = 0 -4m = -40 m = 10 Portanto, para que o triângulo ABC seja retângulo em A, o valor de m deve ser igual a 10. b) Para calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa, podemos usar o teorema de Pitágoras. A hipotenusa é o segmento AC, então vamos calcular seu comprimento: AC = √((-4)^2 + (-4)^2 + 4^2) AC = √(16 + 16 + 16) AC = √48 AC = 4√3 Agora, vamos calcular a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa. A projeção é dada por: Projeção de AB sobre AC = |AB| · cos(θ) O ângulo θ é o ângulo formado entre AB e AC. Podemos calcular esse ângulo usando o produto escalar entre AB e AC: AB · AC = |AB| · |AC| · cos(θ) Como já calculamos AB · AC anteriormente, podemos substituir: -4m + 40 = |AB| · 4√3 · cos(θ) Agora, vamos calcular |AB|: |AB| = √((m - 4)^2 + 2^2 + 8^2) |AB| = √(m^2 - 8m + 16 + 4 + 64) |AB| = √(m^2 - 8m + 84) Substituindo na equação anterior: -4m + 40 = √(m^2 - 8m + 84) · 4√3 · cos(θ) -4m + 40 = 2√3√(m^2 - 8m + 84) · cos(θ) -2m + 20 = √3√(m^2 - 8m + 84) · cos(θ) Agora, vamos analisar as opções de resposta fornecidas: 1) 10; -2√26 2) 10; 2√26 3) 10; 6√13 4) -10; 2√26 5) -10; 26√2 Nenhuma das opções corresponde à resposta correta. Portanto, não é possível determinar a resposta correta com as opções fornecidas.