5. (ITA) Considere a equação x3 + px2 + qx + r = 0, de coeficientes reais, cujas raízes estão em progressão geométrica. Qual das relações é verdade...

Para determinar qual das relações é verdadeira, podemos usar as propriedades das raízes de uma equação cúbica em progressão geométrica. Se as raízes da equação x³ + px² + qx + r = 0 estão em progressão geométrica, podemos representá-las como a, ar e ar², onde a é o primeiro termo e r é a razão da progressão. A soma das raízes de uma equação cúbica é dada por -b/a, onde b é o coeficiente do termo quadrático e a é o coeficiente do termo cúbico. Neste caso, a soma das raízes é -p. Portanto, temos a + ar + ar² = -p. Multiplicando todos os termos por r, obtemos ar + ar² + ar³ = -pr. Agora, podemos comparar os coeficientes da equação original com a expressão obtida: - O coeficiente do termo linear qx é dado por a + ar + ar², que é igual a -p. - O coeficiente do termo constante r é dado por a * ar * ar², que é igual a -pr. Comparando essas informações com as alternativas fornecidas, podemos concluir que a relação verdadeira é: c) 3p² = r²q Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.