28) (Vunesp) Considere o polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d, onde b, c e d são constantes reais. A derivada de p(x) é, por definição, o polinômio p...

Para encontrar o polinômio p(x), podemos usar as informações fornecidas. Sabemos que a derivada de p(x) é p’(x) = 3x^2 + 2bx + c. Dado que p’(1) = 0, podemos substituir x por 1 na expressão de p’(x): 0 = 3(1)^2 + 2b(1) + c 0 = 3 + 2b + c Dado que p’(-1) = 4, podemos substituir x por -1 na expressão de p’(x): 4 = 3(-1)^2 + 2b(-1) + c 4 = 3 - 2b + c Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de b e c: 3 + 2b + c = 0 3 - 2b + c = 4 Somando as duas equações, temos: 6 + 2c = 4 2c = -2 c = -1 Substituindo o valor de c na primeira equação, temos: 3 + 2b - 1 = 0 2b = -2 b = -1 Agora que temos os valores de b e c, podemos encontrar o valor de d. Sabemos que o resto da divisão de p(x) por x - 1 é 2. Podemos usar o Teorema do Resto para encontrar essa informação: p(1) = 2 Substituindo x por 1 na expressão de p(x), temos: 1^3 + (-1)(1)^2 + (-1)(1) + d = 2 1 - 1 - 1 + d = 2 d - 1 = 2 d = 3 Agora que temos os valores de b, c e d, podemos escrever o polinômio p(x): p(x) = x^3 - x^2 - x + 3 Portanto, a alternativa correta é a letra b) x^3 - x^2 - x + 3.