10. (Unesp) Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito à circunferência de equação: x£ + y£ - 6x - 4y + 12 = 0. D...

Para determinar as equações das retas que contêm as diagonais do quadrado circunscrito à circunferência, podemos utilizar algumas propriedades geométricas. Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos vértices do quadrado. Para isso, igualamos a equação da circunferência a zero e completamos o quadrado para obter a forma padrão: x² - 6x + y² - 4y + 12 = 0 (x² - 6x + 9) + (y² - 4y + 4) + 12 - 9 - 4 = 0 (x - 3)² + (y - 2)² + 3 = 0 Agora, podemos identificar o centro da circunferência, que é o ponto (3, 2), e o raio, que é √3. Sabendo que o quadrado tem lados paralelos aos eixos coordenados, podemos determinar os vértices do quadrado a partir do centro e do raio. Os vértices serão: V1: (3 + √3, 2 + √3) V2: (3 + √3, 2 - √3) V3: (3 - √3, 2 + √3) V4: (3 - √3, 2 - √3) Agora, podemos determinar as equações das retas que contêm as diagonais do quadrado. As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si e passam pelo seu centro. A primeira diagonal passa pelos vértices V1 e V4. Podemos calcular a inclinação dessa reta utilizando a fórmula: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) m = (2 - (2 - √3)) / ((3 - √3) - (3 + √3)) m = √3 / (-2√3) m = -1/2 A equação da reta que contém a primeira diagonal é: y - y1 = m(x - x1) y - (2 - √3) = (-1/2)(x - (3 + √3)) Simplificando, temos: y = (-1/2)x + (7/2 - √3) A segunda diagonal passa pelos vértices V2 e V3. Utilizando o mesmo processo, encontramos a inclinação: m = (2 - (2 + √3)) / ((3 + √3) - (3 - √3)) m = -√3 / (2√3) m = -1/2 A equação da reta que contém a segunda diagonal é: y - y2 = m(x - x2) y - (2 + √3) = (-1/2)(x - (3 + √3)) Simplificando, temos: y = (-1/2)x + (7/2 + √3) Portanto, as equações das retas que contêm as diagonais do quadrado circunscrito à circunferência são: y = (-1/2)x + (7/2 - √3) y = (-1/2)x + (7/2 + √3)