Exerćıcio 1: Calcule a integral de linha diretamente e, também, pelo teorema de Green:∮ C x dx + y2 dy onde C é o caminho fechado formado por y ...

Para calcular a integral de linha diretamente, podemos parametrizar o caminho C usando a curva y = x² e y = x. Vamos dividir o caminho em duas partes: a primeira parte é a curva y = x² e a segunda parte é a curva y = x. Para a primeira parte, podemos parametrizar a curva como x = t e y = t², onde t varia de 0 a 1. Substituindo essas parametrizações na integral, temos: ∮ C x dx + y² dy = ∫₀¹ t dt + (t²)² dt Integrando em relação a t, temos: ∮ C x dx + y² dy = [t²/2]₀¹ + [t⁴/4]₀¹ = (1/2) + (1/4) - (0/2) - (0/4) = 3/4 Agora, vamos calcular a integral de linha usando o teorema de Green. O teorema de Green estabelece que a integral de linha de um campo vetorial F = (P, Q) ao longo de um caminho fechado C é igual à integral dupla da região delimitada por C, considerando a derivada parcial de Q em relação a x menos a derivada parcial de P em relação a y. No nosso caso, o campo vetorial F = (x, y²) e o caminho C é formado pelas curvas y = x² e y = x. Vamos calcular as derivadas parciais de Q em relação a x e de P em relação a y: ∂Q/∂x = 0 ∂P/∂y = 2y Agora, vamos calcular a integral dupla da região delimitada por C: ∬ R (2y - 0) dA A região R é delimitada pelas curvas y = x² e y = x. Podemos encontrar os limites de integração observando os pontos de interseção das curvas: x² = x x² - x = 0 x(x - 1) = 0 Portanto, os pontos de interseção são x = 0 e x = 1. Assim, os limites de integração para x são 0 e 1, e para y são x² e x. Agora, vamos calcular a integral dupla: ∬ R (2y - 0) dA = ∫₀¹ ∫ₓ²ˣ x dy dx Integrando em relação a y, temos: ∬ R (2y - 0) dA = ∫₀¹ [xy]ₓ²ˣ dx Integrando em relação a x, temos: ∬ R (2y - 0) dA = [x²y/2]ₓ²ˣ₀¹ = (x²/2)(x - x²) - (0/2)(0 - 0) = (x³/2) - (x⁴/2) Agora, vamos calcular a diferença entre os valores da função nos limites superiores e inferiores: [(1³/2) - (1⁴/2)] - [(0³/2) - (0⁴/2)] = (1/2 - 1/2) - (0 - 0) = 0 Portanto, a integral de linha pelo teorema de Green é igual a 0. Assim, a integral de linha diretamente é 3/4 e a integral de linha pelo teorema de Green é 0.