Exerćıcio 2: Utilize o teorema de Green para calcular: a) I = ∮ C − x 2y 1 + x2 dx + arctg x dy onde C é o caminho fechado formado por y = 0, x =...

Vamos calcular cada uma das integrais utilizando o Teorema de Green: a) Para calcular a integral I = ∮C (-x^2y/(1 + x^2) dx + arctg(x) dy), onde C é o caminho fechado formado por y = 0, x = 1, y = 1 e x = 0, no sentido anti-horário, podemos parametrizar o caminho C como: x = t, y = 0, onde t varia de 1 a 0 (sentido anti-horário) x = 0, y = t, onde t varia de 0 a 1 (sentido anti-horário) x = t, y = 1, onde t varia de 0 a 1 (sentido anti-horário) x = 1, y = t, onde t varia de 1 a 0 (sentido anti-horário) Aplicando o Teorema de Green, temos: I = ∮C (-x^2y/(1 + x^2) dx + arctg(x) dy) = ∫(1 to 0) (-t^2*0/(1 + t^2) dt) + ∫(0 to 1) (arctg(0) dt) + ∫(0 to 1) (-t^2*1/(1 + t^2) dt) + ∫(1 to 0) (arctg(1) dt) = 0 + 0 + ∫(0 to 1) (-t^2/(1 + t^2) dt) + π/4 = ∫(0 to 1) (-1 + 1/(1 + t^2) dt) + π/4 = [-t + arctg(t)](0 to 1) + π/4 = -(1 - arctg(1)) + (0 - arctg(0)) + π/4 = -1 + π/4 Portanto, a resposta para a alternativa a) é -1 + π/4. b) Para calcular a integral I = ∮C (ex sen(y) dx + (x + ex cos(y)) dy), onde C é a elipse 3x^2 + 8y^2 = 24, no sentido anti-horário, podemos parametrizar a elipse C como: x = 2cos(t), y = √(3/8)sin(t), onde t varia de 0 a 2π (sentido anti-horário) Aplicando o Teorema de Green, temos: I = ∮C (ex sen(y) dx + (x + ex cos(y)) dy) = ∫(0 to 2π) (e^(√(3/8)sin(t))sin(√(3/8)sin(t))(-2sin(t)) + (2cos(t) + e^(√(3/8)sin(t))cos(√(3/8)sin(t)))(√(3/8)cos(t)) dt = -2∫(0 to 2π) e^(√(3/8)sin(t))sin(√(3/8)sin(t))sin(t) + 2√(3/8)cos(t)e^(√(3/8)sin(t))cos(√(3/8)sin(t)) + 2√(3/8)cos^2(t)e^(√(3/8)sin(t))cos(√(3/8)sin(t)) dt Infelizmente, a integral acima não possui uma solução analítica simples. Portanto, não é possível calcular o valor exato dessa integral. c) Para calcular a integral I = ∮C (2arctg(y/x) dx + (ln(x^2 + y^2) + x) dy), onde C é parametrizada por x = 4 + 2cos(t) e y = 4 + sen(t), com 0 ≤ t ≤ 2π, podemos substituir as variáveis x e y pelas expressões em termos de t: x = 4 + 2cos(t) y = 4 + sen(t) Calculando as derivadas em relação a t: dx/dt = -2sen(t) dy/dt = cos(t) Aplicando o Teorema de Green, temos: I = ∮C (2arctg(y/x) dx + (ln(x^2 + y^2) + x) dy) = ∫(0 to 2π) [2arctg((4 + sen(t))/(4 + 2cos(t))) (-2sen(t)) + (ln((4 + 2cos(t))^2 + (4 + sen(t))^2) + (4 + 2cos(t))) cos(t)] dt Infelizmente, essa integral também não possui uma solução analítica simples. Portanto, não é possível calcular o valor exato dessa integral.