Exerćıcio 8: Calcule ∫∫ S −→ F · −→n dS , onde −→ F = (z2 − x,−xy, 3z) e S é a superf́ıcie do sólido limitado por z = 4 − y2, x = 0, x = 3 e o p...

Para calcular a integral de superfície ∫∫ S −→ F · −→n dS, onde −→ F = (z^2 − x, −xy, 3z) e S é a superfície do sólido limitado por z = 4 − y^2, x = 0, x = 3 e o plano xy, com vetor −→n exterior, podemos usar o Teorema da Divergência. Primeiro, vamos calcular a divergência de −→ F: div(−→ F) = ∂/∂x(z^2 − x) + ∂/∂y(−xy) + ∂/∂z(3z) = −1 + 0 + 3 = 2 Agora, vamos calcular a integral de volume ∭V div(−→ F) dV, onde V é o volume limitado pelo sólido. Para isso, vamos escrever as restrições do sólido em termos das variáveis de integração: 0 ≤ x ≤ 3 −√(4 − x) ≤ y ≤ √(4 − x) 0 ≤ z ≤ 4 − y^2 Agora, podemos calcular a integral de volume: ∭V div(−→ F) dV = ∫[0,3] ∫[−√(4 − x),√(4 − x)] ∫[0,4 − y^2] 2 dz dy dx Agora, basta calcular essa integral de volume para obter o resultado final.