Exerćıcio 1: Calcule ∫∫ S −→ F · −→n dS , sendo −→F (x, y, z) = y−→i − x−→j e S a parte da esfera x2 + y2 + z2 = = a2, no primeiro octante com a n...

Para calcular a integral de superfície ∫∫ S −→ F · −→n dS, onde −→F (x, y, z) = y−→i − x−→j e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = a2 no primeiro octante com a normal apontando para fora, podemos usar o Teorema de Gauss. Primeiro, vamos calcular o vetor normal −→n para a superfície S. Como a normal aponta para fora, podemos usar a fórmula −→n = (x, y, z)/a, onde (x, y, z) é um ponto na superfície S. Portanto, temos −→n = (x/a, y/a, z/a). Agora, vamos calcular o produto escalar −→ F · −→n. Substituindo −→F e −→n, temos: −→ F · −→n = (y−→i − x−→j) · (x/a, y/a, z/a) = (yx/a) + (yz/a) - (xy/a) - (xz/a) = (yx + yz - xy - xz)/a Agora, vamos calcular a integral de superfície ∫∫ S −→ F · −→n dS. Como a superfície S é a parte da esfera no primeiro octante, podemos usar coordenadas esféricas para parametrizar a superfície. A integral se torna: ∫∫ S −→ F · −→n dS = ∫∫ S (yx + yz - xy - xz)/a dS Agora, você pode prosseguir com a resolução da integral usando as coordenadas esféricas. Lembre-se de considerar os limites de integração adequados para a parte da esfera no primeiro octante.