4. Calcule a integral e interprete como uma área de uma região. Esboce a região.∫ π/2 0 | cosx− sen 2x|dx . Se necessário utilize sen(2x) = 2 s...

Para calcular a integral ∫ π/2 0 | cosx - sen 2x|dx, podemos dividir a integral em duas partes, uma para cada intervalo de x onde o valor absoluto muda de sinal. Primeiro, vamos calcular a integral no intervalo [0, π/4]: ∫ π/4 0 (cosx - sen 2x) dx Usando a identidade trigonométrica sen(2x) = 2sen(x)cos(x), podemos reescrever a expressão: ∫ π/4 0 (cosx - 2sen(x)cos(x)) dx Agora, vamos integrar termo a termo: ∫ π/4 0 cosx dx - ∫ π/4 0 2sen(x)cos(x) dx A integral de cos(x) é sen(x), e a integral de sen(x)cos(x) pode ser resolvida usando a substituição u = sen(x), du = cos(x)dx: ∫ π/4 0 cosx dx - ∫ π/4 0 2u du [sen(x)]π/4 0 - [u^2]π/4 0 (sen(π/4) - sen(0)) - (π/4)^2 - 0^2 (1/√2 - 0) - (π^2/16 - 0) 1/√2 - π^2/16 Agora, vamos calcular a integral no intervalo [π/4, π/2]: ∫ π/2 π/4 (sen 2x - cosx) dx Usando a identidade trigonométrica sen(2x) = 2sen(x)cos(x), podemos reescrever a expressão: ∫ π/2 π/4 (2sen(x)cos(x) - cosx) dx Agora, vamos integrar termo a termo: ∫ π/2 π/4 2sen(x)cos(x) dx - ∫ π/2 π/4 cosx dx A integral de sen(x)cos(x) pode ser resolvida usando a substituição u = sen(x), du = cos(x)dx: ∫ π/2 π/4 2u du - [sen(x)]π/2 π/4 [u^2]π/2 π/4 - [sen(x)]π/2 π/4 [(sen(π/2))^2 - (sen(π/4))^2] - (1 - 1/√2) [1^2 - (1/√2)^2] - (1 - 1/√2) [1 - 1/2] - (1 - 1/√2) 1/2 - 1 + 1/√2 Agora, somamos as duas partes: (1/√2 - π^2/16) + (1/2 - 1 + 1/√2) Simplificando: 1/√2 + 1/2 - π^2/16 - 1 + 1/√2 1/2 - 1 + 1/√2 + 1/√2 - π^2/16 -1 + 2/√2 - π^2/16 Simplificando ainda mais: 2/√2 - 1 - π^2/16 √2 - 1 - π^2/16 Portanto, a integral ∫ π/2 0 | cosx - sen 2x|dx é igual a √2 - 1 - π^2/16.