Questão 5. (2.0 pontos) Considere a região R limitada pelas curvas y = x e y = x2 no intervalo [1, 2]. (a) (0.5) Esboce a região R. (b) (1.5) ...

(a) A região R é delimitada pelas curvas y = x e y = x² no intervalo [1, 2]. Para esboçar a região, podemos traçar os gráficos das duas funções e sombrear a área entre elas no intervalo dado. A figura resultante será uma parábola com vértice no ponto (1,1) e que passa pelo ponto (2,2), e uma reta que passa pelos pontos (1,1) e (2,2). A região R será a área entre essas duas curvas. (b) Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x, podemos usar o método dos discos ou o método das cascas. Vamos usar o método das cascas. A intersecção do sólido com um plano perpendicular ao eixo x é um anel de raio externo x² e raio interno x, cuja área é A(x) = π(x²)² - πx² = πx⁴ - πx². O volume do sólido é dado por V = ∫[1,2] A(x) dx = π ∫[1,2] (x⁴ - x²) dx = π [(2⁵/5 - 2³/3) - (1⁵/5 - 1³/3)] = 58π/15. Portanto, o volume do sólido é 58π/15.