2) Resolva as somas abaixo utilizando as propriedades de somatórios e fórmulas fechadas discutidas nas nossas aulas. Explique suas respostas e indi...

(a) Para resolver a soma 25∑j=1(3j + 8), podemos utilizar a propriedade distributiva do somatório. Primeiro, vamos resolver o somatório interno 3j + 8: ∑j=1(3j + 8) = ∑j=1(3j) + ∑j=1(8) Podemos utilizar a fórmula fechada para a soma dos primeiros n números naturais, que é dada por n(n+1)/2. Assim, temos: ∑j=1(3j) = 3∑j=1(j) = 3 * (1 + 2 + 3 + ... + 25) = 3 * 25(25+1)/2 = 3 * 25 * 26/2 = 1950 ∑j=1(8) = 8 * ∑j=1(1) = 8 * 25 = 200 Agora, somamos os resultados: 25∑j=1(3j + 8) = 25 * (1950 + 200) = 25 * 2150 = 53750 Portanto, a resposta para a soma (a) é 53750. (b) Para resolver a soma 6∑j=1(3.2j), podemos utilizar a propriedade distributiva do somatório. Temos: 6∑j=1(3.2j) = 6 * ∑j=1(6j) Podemos utilizar a fórmula fechada para a soma dos primeiros n números naturais, que é dada por n(n+1)/2. Assim, temos: ∑j=1(6j) = 6 * ∑j=1(j) = 6 * (1 + 2 + 3 + ... + 6) = 6 * 6(6+1)/2 = 6 * 6 * 7/2 = 126 Agora, multiplicamos o resultado pela constante 6: 6∑j=1(3.2j) = 6 * 126 = 756 Portanto, a resposta para a soma (b) é 756. (c) Para resolver a soma 20∑j=1(3j2 + 1), podemos utilizar a propriedade distributiva do somatório. Primeiro, vamos resolver o somatório interno 3j2 + 1: ∑j=1(3j2 + 1) = ∑j=1(3j2) + ∑j=1(1) Podemos utilizar a fórmula fechada para a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais, que é dada por n(n+1)(2n+1)/6. Assim, temos: ∑j=1(3j2) = 3∑j=1(j2) = 3 * (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 20^2) = 3 * 20(20+1)(2*20+1)/6 = 3 * 20 * 21 * 41/6 = 28740 ∑j=1(1) = 1 * ∑j=1(1) = 1 * 20 = 20 Agora, somamos os resultados: 20∑j=1(3j2 + 1) = 20 * (28740 + 20) = 20 * 28760 = 575200 Portanto, a resposta para a soma (c) é 575200. (d) Para resolver a soma 20∑j=11(5j2 − 400) usando uma mudança de índices, podemos fazer uma substituição de índices para simplificar a expressão. Vamos substituir j por i + 10: 20∑j=11(5j2 − 400) = 20∑i=1(5(i+10)2 − 400) Expandindo o termo (i+10)2, temos: 20∑i=1(5(i+10)2 − 400) = 20∑i=1(5(i2 + 20i + 100) − 400) Distribuindo o fator 5, temos: 20∑i=1(5(i2 + 20i + 100) − 400) = 20∑i=1(5i2 + 100i + 500 − 400) Agora, podemos separar o somatório em três partes: 20∑i=1(5i2) + 20∑i=1(100i) + 20∑i=1(500 − 400) Podemos utilizar as fórmulas fechadas para a soma dos quadrados dos primeiros n números naturais e para a soma dos primeiros n números naturais. Assim, temos: 20∑i=1(5i2) = 5 * ∑i=1(i2) = 5 * (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 20^2) = 5 * 20(20+1)(2*20+1)/6 = 5 * 20 * 21 * 41/6 = 28740 20∑i=1(100i) = 100 * ∑i=1(i) = 100 * (1 + 2 + 3 + ... + 20) = 100 * 20(20+1)/2 = 100 * 20 * 21/2 = 21000 20∑i=1(500 − 400) = 20 * ∑i=1(100) = 20 * 100 = 2000 Agora, somamos os resultados: 20∑i=1(5i2) + 20∑i=1(100i) + 20∑i=1(500 − 400) = 28740 + 21000 + 2000 = 51740 Portanto, a resposta para a soma (d) é 51740. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.