Prove: Para todo a e b inteiros e todo m inteiro positivo, se a ≡ b (mod m), então a2 ≡ b2 (mod m).

Para provar essa afirmação, podemos usar a definição de congruência modular. Se a ≡ b (mod m), isso significa que a diferença entre a e b é um múltiplo inteiro de m. Ou seja, existe um número inteiro k tal que a - b = km. Agora, vamos elevar ambos os lados dessa igualdade ao quadrado: (a - b)^2 = (km)^2 a^2 - 2ab + b^2 = k^2m^2 Observe que a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Substituindo essa expressão na equação acima, temos: (a - b)(a + b) = k^2m^2 Agora, vamos analisar o lado esquerdo da equação. Sabemos que a - b = km, então podemos substituir essa expressão: km(a + b) = k^2m^2 Dividindo ambos os lados por m, temos: k(a + b) = km Cancelando o fator k em ambos os lados, obtemos: a + b = m Agora, podemos substituir essa expressão na equação original: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = km(a + b) = km^2 Portanto, concluímos que a^2 ≡ b^2 (mod m), o que prova a afirmação dada. Espero que isso tenha ficado claro! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.