AP1_MD

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO 
MATEMÁTICA DISCRETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MATEMÁTICA DISCRETA 
 AVALIAÇÃO PARCIAL - 1 
 Chrystian Gemaque Maciel - 501212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUIXADÁ 
 2021 
1) Prove: Para todo x e y inteiros, se x + y é ímpar, então x.y é par. 
Resposta: Para o teorema ser válido teremos que ter x como par e y como ímpar, onde 
existe um inteiro r tal que, x = 2r, e para y, existe um inteiro s tal que, y = 2s + 1; aonde 
na soma de x + y teremos: x + y = 2r + (2k+1) = 2(r + s) + 1 = 2s + 1 dessa soma 
resultado em um número ímpar, consequentemente teremos a multiplicação x * y = (2r) 
* (2s + 1) = 4rs + 2r = 2(2rs + 1); sendo o produto de x * y um número par, tornando 
assim o teorema como verdadeiro. 
 
2) Prove: Para todo a, b e c inteiros com a ≠ 0, se a | b e b | c, então a2 | bc. 
Resposta: Pelo teorema da divisibilidade, se a | b e a | c, existem inteiros r e s tais que b 
= a * r e c = a *s; conclui-se que b * c = (a * r) + (a * s) = 2a * (r + s), logo temos que 
a2 divide b * c; provando assim também o teorema como verdadeiro. 
 
3) Calcule os valores de −36 div 7 e de −36 mod 7, exibindo os cálculos necessários. 
Justifique os resultados encontrados de acordo com o Algoritmo da Divisão. 
Resposta: Pelo algoritmo da divisão temos que fazer a divisão de -36 por 7, aonde: 
-36 |7 Feita essa divisão precisamos satisfazer a condição 0 ≤ r < 7, aonde 
+7 -5 -36 = 7 * (-5) + r  -36 = -35 + r  -36 – (-35) = r  – 1 = r; ficando 
-29 assim a condição 0 ≤ 6 < 7, ficando então -36 = 7 * (-6) + (-1) ou -36 = 7 * (-6) 
+35 6, tendo -36 div 7 = -6 e -36 mod 7 = 6. 
 6 
 
 
4) Prove: Para todo a e b inteiros e todo m inteiro positivo, se a ≡ b (mod m), então a2 ≡ 
b2 (mod m). 
Resposta: Seguindo a definição da Aritmética Modular temos que se a é congruente a b 
no módulo m, temos que, existe um inteiro k tal que; a = b + k * m, se a ≡ b (mod m), 
então m | (a – b), e se existe um inteiro k tal que a = b + k * m, então k * m = b – a, 
sendo assim a é congruente ao modulo m e consequentemente a2 também é congruente a 
b2 no modulo m. 
 
5) a) Encontre a fatoração do número 539. 
Resposta: 539 7 539 = 72 * 111 ou 7 * 7 * 11 
 77 7 
 11 11 
 1 
 
b) Utilizando a fatoração obtida no Item a, descubra quantos divisores positivos o número 
539 tem. Em seguida, liste todos os divisores positivos de 539. OBS.: Não será válido 
calcular os divisores para contá-los depois. É necessário encontrar o total de divisores de 
forma independente da listagem dos divisores. 
Resposta: 539 = 72 * 111 = (2 + 1) * (1 + 1) = 3 * 2 = 6 divisores positivos de 539 
70 * 110 = 1 71 * 110 = 7 70 * 111 = 11 71 * 111 = 77 72 * 110 = 49 72 * 111 = 539 
Divisores de 539: 1, 7, 11, 49, 77, 539 
 
 c) Verifique se o número 737 é primo. 
Resposta: Usando o algoritmo da fatoração, para verificar se P|737 para cada inteiro P ≤ 
√737 que seja primo, tendo P ≤ 13, com 6 números primos no intervalo: 
2 ∤ 737, 737 MOD 2 = 1 3 ∤ 737, 737 MOD 3 = 2 5 ∤ 737, 737 MOD 5 = 2 
7 ∤ 737, 737 MOD 7 = 2 11 | 737, 737 MOD 11 = 0 13 ∤ 737, 737 MOD 13 = 9 
Pelo algoritmo, chega-se a uma conclusão que 737 não é primo, pois 11 divide 737. 
737 11 737 = 111 * 671 
 67 67 
 1 
d) Fatores os números 168 e 490. Utilize estas fatorações para calcular os valores de 
mdc(168, 490) e mmc(168, 490). 
Resposta: 168 2 168 = 23 * 31 * 71 490 2 490 = 21 * 51 *72 
 84 2 245 5 
 42 2 49 7 
 21 7 7 7 
 3 3 1 
 1 
Divisores de 168: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168. 
Divisores de 490: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 49, 70, 98, 245, 490. 
MDC(168, 490) = 14. 
MMC(168, 490) = 23 * 31 * 51 *72 = 5880 
 
e) Encontre todos os divisores positivos comuns de 168 e 490. 
Resposta: 168 = 23 * 31 * 71 = (3 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1) = 4 * 2 * 2 = 16 divisores 
positivos de 168. 
20 * 30 * 70 = 1 21 * 30 * 70 = 2 20 * 31 * 70 = 3 20 * 30 * 71 = 7 21 * 31 * 70 = 6 
20 * 31 * 71 = 21 21 * 30 * 71 = 14 21 * 31 * 71 = 42 22 * 30 * 70 = 4 22 * 30 * 71 = 28 
 22 * 31 * 70 = 12 22 * 31 * 71 = 84 23 * 30 * 70 = 8 23 * 31 * 71 = 168 
Divisores de 168: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168. 
 
490 = 21 * 51 *72 = (1 + 1) * (1 + 1) * (2 + 1) = 2 * 2 * 3 = 12 divisores positivos de 490 
20 * 50 *70 = 1 21 * 50 *70 = 2 20 * 51 *70 = 5 20 * 50 *71 = 7 21 * 51 *70 = 10 
20 * 51 *71 = 35 21 * 51 *71 = 70 20 * 50 *72 = 49 21 * 50 *71 = 14 21 * 5 *72 = 98 
 20 * 51 *72 = 245 21 * 51 *72 = 490 
Divisores de 490: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 49, 70, 98, 245, 490. 
 
BÔNUS 1: Suponha que a e b sejam inteiros ímpares, com a ≠ b. Mostre que existe um 
único inteiro c tal que |a − c| = |b − c|. Obs.: |x| denota o módulo de x, onde x é um número 
qualquer. 
Resposta: Para provar o teorema, primeiramente temos que a é diferente de b, então 
existem dois inteiros r e s tais que a = 2r+1, b = (2s+1); para c, existe um inteiro t tal que 
c = 2t. Ficando assim |(2r+1) – 2t| = |(2s+1) – 2t|  |-(2rt+1)| = |(2st+1)|  |2t+1| = 
|2t+1|  2t+1 = 2t+1. Provando assim como verdadeiro o teorema.