Prova por indução Para n = 1, 1 = 12  n = k então k ≥ 1 e n = k + 1; 1 + 3 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = (k + 1)2, k ≥ 1 1 + 3 + . . . + (2k ...

A prova por indução é um método matemático utilizado para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. No caso apresentado, a afirmação a ser provada é: 1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)^2, para k ≥ 1. A prova por indução consiste em dois passos: o caso base e o passo indutivo. Caso base (n = 1): Para n = 1, temos que 1 = 1^2, o que é verdadeiro. Passo indutivo: Supomos que a afirmação seja verdadeira para um valor k qualquer, ou seja: 1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)^2. Agora, vamos provar que a afirmação também é verdadeira para k + 1: 1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) + (2(k + 1) - 1) + (2(k + 1) + 1) = (k + 1)^2 + (2(k + 1) + 1). Podemos reescrever a expressão acima como: (k + 1)^2 + (2(k + 1) + 1) = (k + 1)^2 + 2k + 2 + 1 = (k + 1)^2 + 2(k + 1) + 1. Agora, vamos simplificar a expressão: (k + 1)^2 + 2(k + 1) + 1 = (k + 1)(k + 1) + 2(k + 1) + 1 = (k + 1)(k + 1 + 2) + 1 = (k + 1)(k + 3) + 1 = (k + 1)^2 + 3(k + 1) + 1. Podemos reescrever novamente a expressão como: (k + 1)^2 + 3(k + 1) + 1 = (k + 1)^2 + (k + 1) + (k + 1) + 1 = (k + 1)^2 + (k + 1) + (k + 2). Agora, podemos utilizar a hipótese de indução, que diz que a afirmação é verdadeira para k, para substituir (k + 1)^2 por 1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1): (k + 1)^2 + (k + 1) + (k + 2) = 1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) + (k + 1) + (k + 2). Podemos agrupar os termos: 1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) + (k + 1) + (k + 2) = 1 + 3 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) + (k + 1) + (k + 2). Portanto, a afirmação é verdadeira para k + 1. Dessa forma, concluímos que a afirmação é verdadeira para todos os valores de k ≥ 1, por meio da prova por indução.