Mostre que num espaço vetorial V com produto interno vale o Teorema de Pitágoras, isto é, se u, v ∈ V são dois vetores ortogonais então ∥ u− v...

Para mostrar que o Teorema de Pitágoras vale em um espaço vetorial V com produto interno, onde u e v são dois vetores ortogonais, podemos utilizar as propriedades do produto interno e a definição de ortogonalidade. Primeiro, vamos considerar a norma ao quadrado de u - v: ∥u - v∥² = (u - v, u - v) Agora, podemos expandir o produto interno: (u - v, u - v) = (u, u) - (u, v) - (v, u) + (v, v) Como u e v são ortogonais, temos que (u, v) = 0 e (v, u) = 0. Portanto, a expressão se simplifica para: (u - v, u - v) = (u, u) + (v, v) Isso mostra que a norma ao quadrado de u - v é igual à soma das normas ao quadrado de u e v: ∥u - v∥² = ∥u∥² + ∥v∥² Portanto, o Teorema de Pitágoras é válido em um espaço vetorial V com produto interno quando u e v são vetores ortogonais.