Lista4

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Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear - MAT 158 - Turma B - 2014/3
Prof.: Laércio José dos Santos
Lista 4 - 18/09 - Justifique cada resposta dada
1. Em cada caso abaixo, determine [v]B, sendo que o espaço vetorial V é considerado com
o produto interno canônico.
(a) V = R2, v = (5,−2)) e B = {(1, 1), (1,−1)}.
(b) V = C3, v = (2,−3, i) e B = {(1,−1, 1), (1, 2, 1), (1, 0,−1)}.
(c) V = P3(R), v = 2− t+ t2 + 2t3 e B = {t, 1 + t3, 1 + 2t2 − t3, 1− t2 − t3}.
2. Determine o que se pede a seguir, considerando R3 com o produto interno canônico e
W o subespaço
W = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − z = 0 e y + z = 0}.
(a) Bases ortogonais B1 e B2 para W e W⊥, respectivamente.
(b) Uma base ortonormal B para R3 tal que B1 ⊂ B.
(c) As projeções ortogonais de v = (2, 0, 1) sobre W e sobre W⊥, respectivamente.
3. Consideremos o seguinte produto interno em R4:
⟨(x1, x2, x3, x4), (y1, y2, y3, y4)⟩ = 2x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4.
Seja W = ger{(1, 2, 0,−1), (2, 0,−1, 1), (1,−6,−2, 5)} ⊂ R4. Encontre:
(a) Bases ortogonais B1 e B2 para W e W⊥, respectivamente.
(b) Uma base ortonormal B para R4 tal que B1 ⊂ B.
(c) As projeções ortogonais de v = (1, 0,−1, 0) sobre W e sobre W⊥, respectivamente.
4. Consideremos M(2,R) com o produto interno canônico, isto é, ⟨A,B⟩ = traco(BtA).
Sejam
W = ger
{(
1 2
0 −1
)
,
(
2 0
−1 1
)
,
(
1 −6
−4 7
)}
e A0 =
(
1 −1
1 0
)
.
Encontre:
(a) Bases ortogonais B1 e B2 para W e W⊥, respectivamente.
(b) Uma base ortonormal B para M(2,R) tal que B1 ⊂ B.
(c) As projeções ortogonais de A0 sobre W e sobre W
⊥, respectivamente.
5. Mostre que num espaço vetorial V com produto interno vale o Teorema de Pitágoras,
isto é, se u, v ∈ V são dois vetores ortogonais então
∥ u− v ∥2 = ∥ u ∥2 + ∥ v ∥2 .
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