3. Demostrar el teorema de Pitágoras: Si x e y son vectores de un espacio eucĺıdeo, x ⊥ y ⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2+‖y‖2 .

Para demonstrar o teorema de Pitágoras, vamos usar a propriedade de ortogonalidade de vetores no espaço euclidiano. Sejam x e y dois vetores ortogonais, ou seja, x ⊥ y. Isso significa que o produto interno entre esses vetores é igual a zero: x · y = 0. Agora, vamos calcular a norma ao quadrado do vetor x + y: ‖x + y‖² = (x + y) · (x + y) (definição de norma ao quadrado) = (x · x) + (x · y) + (y · x) + (y · y) (distributiva do produto interno) = ‖x‖² + 2(x · y) + ‖y‖² (propriedade do produto interno) Como x ⊥ y, temos que (x · y) = 0. Portanto, a expressão acima se simplifica para: ‖x + y‖² = ‖x‖² + ‖y‖² Assim, demonstramos que se x e y são vetores ortogonais, então a norma ao quadrado do vetor x + y é igual à soma das normas ao quadrado de x e y, o que confirma o teorema de Pitágoras no espaço euclidiano.