2. (1.5) Use o Princípio da Inclusão e Exclusão para calcular o número de maneiras em que podemos permutar os inteiros 1, 2, . . . , 9 de modo que ...

Para calcular o número de maneiras em que podemos permutar os inteiros de 1 a 9 de modo que nenhum inteiro par ocupe seu lugar natural usando o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Definir o conjunto base: O conjunto base é o conjunto de todas as permutações possíveis dos inteiros de 1 a 9. 2. Calcular o número de permutações em que pelo menos um inteiro par ocupa seu lugar natural: Para isso, consideramos cada inteiro par ocupando seu lugar natural e permutamos os outros elementos. Existem 4 inteiros pares (2, 4, 6, 8), então temos 4! maneiras de permutar esses inteiros e 7! maneiras de permutar os outros elementos (1, 3, 5, 7, 9). Portanto, o número de permutações em que pelo menos um inteiro par ocupa seu lugar natural é 4! * 7!. 3. Calcular o número de permutações em que pelo menos dois inteiros pares ocupam seus lugares naturais: Para isso, consideramos cada par de inteiros pares ocupando seus lugares naturais e permutamos os outros elementos. Existem 4 escolhas possíveis para o primeiro par de inteiros pares e 3 escolhas possíveis para o segundo par de inteiros pares. Para cada escolha, temos 2! maneiras de permutar os inteiros pares e 5! maneiras de permutar os outros elementos. Portanto, o número de permutações em que pelo menos dois inteiros pares ocupam seus lugares naturais é 4 * 3 * 2! * 5!. 4. Calcular o número de permutações em que pelo menos três inteiros pares ocupam seus lugares naturais: Para isso, consideramos cada trio de inteiros pares ocupando seus lugares naturais e permutamos os outros elementos. Existem 4 escolhas possíveis para o primeiro trio de inteiros pares, 3 escolhas possíveis para o segundo trio de inteiros pares e 2 escolhas possíveis para o terceiro trio de inteiros pares. Para cada escolha, temos 3! maneiras de permutar os inteiros pares e 3! maneiras de permutar os outros elementos. Portanto, o número de permutações em que pelo menos três inteiros pares ocupam seus lugares naturais é 4 * 3 * 2 * 3! * 3!. 5. Calcular o número de permutações em que todos os inteiros pares ocupam seus lugares naturais: Para isso, consideramos os inteiros pares ocupando seus lugares naturais e permutamos os outros elementos. Temos 2! maneiras de permutar os inteiros pares e 5! maneiras de permutar os outros elementos. Portanto, o número de permutações em que todos os inteiros pares ocupam seus lugares naturais é 2! * 5!. 6. Aplicar o Princípio da Inclusão e Exclusão: Agora, podemos usar o Princípio da Inclusão e Exclusão para calcular o número total de permutações em que nenhum inteiro par ocupa seu lugar natural. A fórmula é dada por: Total = |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4| = |A1| - |A2| + |A3| - |A4| Onde: |A1| é o número de permutações em que pelo menos um inteiro par ocupa seu lugar natural, |A2| é o número de permutações em que pelo menos dois inteiros pares ocupam seus lugares naturais, |A3| é o número de permutações em que pelo menos três inteiros pares ocupam seus lugares naturais, |A4| é o número de permutações em que todos os inteiros pares ocupam seus lugares naturais. Substituindo os valores calculados anteriormente, temos: Total = 9! - 4! * 7! + 4 * 3 * 2! * 5! - 4 * 3 * 2 * 3! * 3! + 2! * 5! Portanto, o número de maneiras em que podemos permutar os inteiros de 1 a 9 de modo que nenhum inteiro par ocupe seu lugar natural usando o Princípio da Inclusão e Exclusão é dado por essa expressão.