Calcular ∫ x3 √ x4 + 4 dx.

Para calcular a integral ∫ x^3 √(x^4 + 4) dx, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição x^2 = t. Primeiro, vamos calcular dx em termos de dt. Derivando ambos os lados da substituição, temos: 2x dx = dt dx = dt / (2x) Agora, vamos substituir na integral: ∫ x^3 √(x^4 + 4) dx = ∫ (t^(3/2)) * (1/(2x)) dt Agora, vamos substituir x^2 = t: ∫ (t^(3/2)) * (1/(2x)) dt = ∫ (t^(3/2)) * (1/(2√t)) dt Simplificando, temos: ∫ (t^(3/2)) * (1/(2√t)) dt = (1/2) ∫ √t * t dt Agora, podemos integrar essa expressão. A integral de √t * t é dada por: (1/2) ∫ √t * t dt = (1/2) * (2/5) * t^(5/2) + C Substituindo de volta t = x^2, temos: (1/2) * (2/5) * t^(5/2) + C = (1/5) * x^5 + C Portanto, a integral ∫ x^3 √(x^4 + 4) dx é igual a (1/5) * x^5 + C, onde C é a constante de integração.