Exemplo 2 As integrais impróprias ∫ +∞ −∞ 1 1 + x2 dx e ∫ −2 −∞ 1 (1 + x)2 dx convergem. No primeiro caso, já calculamos lim t→+∞ ∫ t 0 1 1 + x2 ...

No exemplo dado, temos duas integrais impróprias: ∫ +∞ −∞ 1/(1 + x^2) dx e ∫ −2 −∞ 1/(1 + x)^2 dx. No primeiro caso, podemos calcular o limite da integral de t até 0: lim t→+∞ ∫ t 0 1/(1 + x^2) dx. Esse limite é igual a π/2. Analogamente, podemos calcular o limite da integral de 0 até s: lim s→−∞ ∫ 0 s 1/(1 + x^2) dx. Esse limite também é igual a π/2. Portanto, a integral de -∞ até +∞ de 1/(1 + x^2) dx é igual a π/2 + π/2, que é igual a π. No segundo caso, a integral de 1/(1 + x)^2 dx é igual a -1/(1 + x) + C. Portanto, a integral de -2 até -∞ de 1/(1 + x)^2 dx é igual a lim t→−∞ ∫ −2 t 1/(1 + x)^2 dx, que é igual a lim t→−∞ (1 + 1/(1 + t)), que é igual a 1. Portanto, a resposta correta é a alternativa E) π.