Problema 6. Seja ABCD um quadrilátero convexo cujos lados BA e BC têm comprimentos diferentes. Sejam ω1 e ω2 as circunferências inscritas nos triân...

Esse é um problema de geometria bastante interessante! Vamos lá: Para resolver esse problema, podemos usar algumas propriedades das circunferências inscritas em triângulos e das tangentes comuns exteriores. Primeiro, vamos observar que as tangentes comuns exteriores a ω1 e ω2 se intersectam em um ponto P. Queremos provar que esse ponto P pertence à circunferência ω. Para isso, vamos considerar o triângulo ABC. Sabemos que a tangente comum exterior a ω1 é paralela ao lado BC. Portanto, podemos traçar uma reta paralela a BC que passa por P, e essa reta irá intersectar os lados AB e AC nos pontos X e Y, respectivamente. Agora, vamos considerar o triângulo ADC. Da mesma forma, a tangente comum exterior a ω2 é paralela ao lado BA. Portanto, podemos traçar uma reta paralela a BA que passa por P, e essa reta irá intersectar os lados AD e CD nos pontos Z e W, respectivamente. Agora, vamos observar os quadriláteros PXZY e PWZC. Esses quadriláteros são cíclicos, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado BA). Portanto, podemos traçar as circunferências ω3 e ω4 circunscritas a esses quadriláteros. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PWZC. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BA são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado WZ). Portanto, podemos traçar a circunferência ω6 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora, vamos observar o quadrilátero PXYZ. Esse quadrilátero também é cíclico, pois os ângulos opostos são suplementares (ângulos opostos ao lado BC são suplementares, assim como os ângulos opostos ao lado XY). Portanto, podemos traçar a circunferência ω5 circunscrita a esse quadrilátero. Agora