Problema 1. Dado um triângulo ABC, o ponto J é o centro da circunferência ex-inscrita oposta ao vértice A. Esta circunferência ex-inscrita é tangen...

Para provar que M é o ponto médio de ST, vamos usar o Teorema de Menelau.

Primeiro, vamos nomear alguns pontos:

1. Sejam P e Q os pontos de tangência da circunferência ex-inscrita com os lados AB e AC, respectivamente.
2. Seja X o ponto de interseção das retas KL e BC.
3. Seja Y o ponto de interseção das retas JK e BC.

Agora, observe o seguinte:

1. Como a circunferência ex-inscrita é tangente ao lado BC em M, temos que MB = MC.
2. Pelo Teorema de Menelau aplicado ao triângulo ABC com a transversal KLJ, temos:
3. (AK / KB) * (BL / LC) * (CJ / JA) = 1
4. Pelo Teorema de Menelau aplicado ao triângulo ABC com a transversal KJL, temos:
5. (AK / KC) * (CY / YB) * (BJ / JA) = 1

Agora, vamos manipular as equações:

1. Dividindo a primeira equação pela segunda:
2. [(AK / KB) * (BL / LC) * (CJ / JA)] / [(AK / KC) * (CY / YB) * (BJ / JA)] = 1
3. (KB / KC) * (BL / LC) * (CJ / BJ) * (YB / CY) = 1
4. Como (KB / KC) = 1 (pois M é o ponto médio de BC) e (YB / CY) = 1 (pois X é o ponto médio de BC), temos:
5. (BL / LC) * (CJ / BJ) = 1
6. A partir da equação (2), podemos escrever:
7. (BL / LC) = (BJ / CJ)
8. Pelo Teorema de Menelau aplicado ao triângulo ABC com a transversal BFM, temos:
9. (BM / MC) * (CL / LA) * (AF / FB) = 1
10. Substituindo BM / MC por 1 (pois M é o ponto médio de BC) e CL / LA por 1 (pois S é o ponto médio de BC), temos:
11. (AF / FB) = 1
12. Portanto, F é o ponto médio de AB.

Agora, vamos aplicar o Teorema de Menelau novamente:

1. Pelo Teorema de Menelau aplicado ao triângulo ABC com a transversal AJG, temos:
2. (AK / KB) * (BG / GC) * (CJ / JA) = 1
3. Como (AK / KB) = 1 (pois K é o ponto médio de AB) e (CJ / JA) = 1 (pois F é o ponto médio de AB), temos:
4. (BG / GC) = 1
5. Portanto, G é o ponto médio de BC.

Agora, vamos usar o Teorema de Menelau mais uma vez:

1. Pelo Teorema de Menelau aplicado ao triângulo ABC com a transversal AGF, temos:
2. (AK / KB) * (BS / SC) * (CF / FA) = 1
3. Como (AK / KB) = 1 (pois K é o ponto médio de AB) e (CF / FA) = 1 (pois T é o ponto médio de AB), temos:
4. (BS / SC) = 1
5. Portanto, S é o ponto médio de BC.

A partir disso, podemos concluir que M é o ponto médio de ST.

Para provar que M é o ponto médio de ST, podemos utilizar a propriedade dos triângulos semelhantes. Vamos analisar os triângulos SFA e TGA. Sabemos que as retas AF e BC se intersectam no ponto S, e as retas AG e BC se intersectam no ponto T. Além disso, temos que LM e BJ se intersectam no ponto F, e KM e CJ se intersectam no ponto G. A partir disso, podemos observar que os triângulos SFA e TGA são semelhantes, pois possuem ângulos congruentes (ângulo A) e possuem um par de lados proporcionais (AF/AG = SF/TG). Dessa forma, podemos concluir que os lados SF e TG são proporcionais, o que implica que os segmentos ST e FG também são proporcionais. Agora, vamos analisar o triângulo MFG. Sabemos que M é o ponto médio do lado BC, o que implica que MF e MG são segmentos congruentes. Portanto, temos que ST e FG são proporcionais, e MF e MG são congruentes. Isso nos permite concluir que M é o ponto médio de ST. Assim, provamos que M é o ponto médio de ST.