Problema 1. Seja n um inteiro positivo e sejam a1, . . . , ak (k ≥ 2) inteiros distintos do conjunto {1, . . . , n} tais que n divide ai(ai+1−1), p...

Para resolver esse problema, podemos usar o princípio da indução matemática. Vamos provar por indução que, se n divide ai(ai+1−1) para i = 1, ..., k-1, então n não divide ak(a1−1). Base da indução: Para k = 2, temos que n divide a1(a2−1) e queremos mostrar que n não divide a2(a1−1). Suponha por contradição que n divide a2(a1−1). Isso implica que a2(a1−1) ≡ 0 (mod n), ou seja, a2(a1−1) é múltiplo de n. Mas como n divide a1(a2−1), temos que a1(a2−1) ≡ 0 (mod n), o que implica que a1(a2−1) também é múltiplo de n. No entanto, isso contradiz o fato de que a1 e a2 são inteiros distintos. Portanto, n não divide a2(a1−1). Hipótese de indução: Suponha que o resultado seja válido para k = m, ou seja, se n divide ai(ai+1−1) para i = 1, ..., m-1, então n não divide am(a1−1). Passo da indução: Vamos mostrar que o resultado também é válido para k = m+1. Suponha que n divide ai(ai+1−1) para i = 1, ..., m. Queremos mostrar que n não divide am+1(a1−1). Suponha por contradição que n divide am+1(a1−1). Isso implica que am+1(a1−1) ≡ 0 (mod n), ou seja, am+1(a1−1) é múltiplo de n. Mas como n divide am(am+1−1), temos que am(am+1−1) ≡ 0 (mod n), o que implica que am(am+1−1) também é múltiplo de n. No entanto, isso contradiz o fato de que am e am+1 são inteiros distintos. Portanto, n não divide am+1(a1−1). Assim, por indução, concluímos que se n divide ai(ai+1−1) para i = 1, ..., k-1, então n não divide ak(a1−1).