Problema 6. Determine todos os inteiros positivos n para os quais existem inteiros não negativos a1, a2, . . . , an tais que 1/2a1 + 1/2a2 + · · ·+...

Esse problema envolve a soma de frações e a relação entre os inteiros positivos n e os inteiros não negativos a1, a2, ..., an. Para resolver esse problema, podemos começar analisando as frações envolvidas. A primeira soma, 1/2a1 + 1/2a2 + ... + 1/2an, pode ser reescrita como (a1 + a2 + ... + an)/2. A segunda soma, 1/3a1 + 2/3a2 + ... + n/3an, pode ser reescrita como (a1 + 2a2 + ... + nan)/3. Agora, igualando as duas expressões à fração 1, temos: (a1 + a2 + ... + an)/2 = (a1 + 2a2 + ... + nan)/3 Multiplicando ambos os lados da equação por 6, temos: 3(a1 + a2 + ... + an) = 2(a1 + 2a2 + ... + nan) Simplificando a equação, temos: 3a1 + 3a2 + ... + 3an = 2a1 + 4a2 + ... + 2nan Agora, podemos agrupar os termos semelhantes: (3a1 - 2a1) + (3a2 - 4a2) + ... + (3an - 2nan) = 0 Simplificando ainda mais, temos: a1 - a2 + a3 - a4 + ... + (-1)^(n-1)an = 0 A partir dessa equação, podemos observar que a soma dos termos alternados deve ser igual a zero para que a igualdade seja satisfeita. Portanto, para que existam inteiros não negativos a1, a2, ..., an que satisfaçam a igualdade, o número de termos n deve ser par. Espero que isso ajude a resolver o problema! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.