Problema 6. Sejam a1, a2, . . . , an inteiros positivos distintos e M um conjunto de n − 1 inteiros positivos que não contém o número s = a1 + a...

Esse é um problema clássico de permutação. Para provar que é possível escolher uma ordem de saltos de modo que o gafanhoto nunca caia em um ponto de M, podemos usar o princípio da indução. Primeiro, vamos considerar o caso base, onde n = 2. Nesse caso, temos apenas dois saltos possíveis, a1 e a2. Podemos escolher a ordem dos saltos de forma que o gafanhoto nunca caia em um ponto de M, simplesmente escolhendo o salto de menor comprimento primeiro. Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para n = k, ou seja, para k inteiros positivos distintos e um conjunto de k-1 inteiros positivos que não contém o número s = a1 + a2 + ... + ak, é possível escolher uma ordem de saltos de modo que o gafanhoto nunca caia em um ponto de M. Vamos considerar o caso para n = k + 1. Temos k+1 inteiros positivos distintos, a1, a2, ..., ak+1, e um conjunto de k inteiros positivos que não contém o número s = a1 + a2 + ... + ak+1. Podemos escolher o salto de menor comprimento, digamos a1, como o primeiro salto. Agora, temos k inteiros positivos distintos restantes, a2, ..., ak+1, e um conjunto de k-1 inteiros positivos que não contém o número s - a1. Pela hipótese de indução, podemos escolher uma ordem de saltos para esses k inteiros positivos de modo que o gafanhoto nunca caia em um ponto de M. Portanto, podemos escolher a ordem dos saltos de forma que o gafanhoto nunca caia em um ponto de M para n = k + 1. Assim, por indução, podemos concluir que é possível escolher uma ordem de saltos de modo que o gafanhoto nunca caia em um ponto de M para qualquer número de saltos n. Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.