Problema 3. Seja s1, s2, s3, . . . uma sucessão estritamente crescente de inteiros positivos tal que as subsucessões ss1 , ss2 , ss3 , . . . e ss...

Para demonstrar que a sequência s1, s2, s3, ... também é uma progressão aritmética, podemos utilizar o conceito de diferença comum. Se as subsequências ss1, ss2, ss3, ... e ss1+1, ss2+1, ss3+1, ... são ambas progressões aritméticas, isso significa que elas possuem uma diferença comum constante. Vamos chamar essa diferença comum de d1 e d2, respectivamente. Agora, vamos analisar a diferença entre os termos consecutivos da sequência s1, s2, s3, ...: s2 - s1 = ss2 - ss1 s3 - s2 = ss3 - ss2 s4 - s3 = ss4 - ss3 ... Podemos observar que a diferença entre os termos consecutivos da sequência s1, s2, s3, ... é igual à diferença entre os termos consecutivos das subsequências ss1, ss2, ss3, ..., que é d1. Portanto, a sequência s1, s2, s3, ... também possui uma diferença comum constante, o que significa que ela é uma progressão aritmética. Dessa forma, demonstramos que se as subsequências ss1, ss2, ss3, ... e ss1+1, ss2+1, ss3+1, ... são ambas progressões aritméticas, então a sequência s1, s2, s3, ... também é uma progressão aritmética.