10. Generalize o resultado anterior, ou seja, prove que se a1, a2, a3, … , an formam uma PA de termos positivos, então 1/√a1, 1/√a2, 1/√a3, … , 1/√...

Para provar que 1/√a1, 1/√a2, 1/√a3, … , 1/√an formam uma PA, precisamos mostrar que a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é constante. Seja d a razão da PA original a1, a2, a3, … , an. Então, temos: a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1 = d Podemos reescrever isso como: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d ... an = a1 + (n-1)d Agora, vamos calcular a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos de 1/√a1, 1/√a2, 1/√a3, … , 1/√an: (1/√a2) - (1/√a1) = (√a1 - √a2) / (√a1 * √a2) = (a2 - a1) / (√a1 * √a2) = d / (√a1 * √a2) (1/√a3) - (1/√a2) = (√a2 - √a3) / (√a2 * √a3) = (a3 - a2) / (√a2 * √a3) = d / (√a2 * √a3) (1/√a4) - (1/√a3) = (√a3 - √a4) / (√a3 * √a4) = (a4 - a3) / (√a3 * √a4) = d / (√a3 * √a4) ... (1/√an) - (1/√an-1) = (√an-1 - √an) / (√an-1 * √an) = (an - an-1) / (√an-1 * √an) = d / (√an-1 * √an) Podemos simplificar cada uma dessas expressões para obter: d / (√a1 * √a2) d / (√a2 * √a3) d / (√a3 * √a4) ... d / (√an-1 * √an) Observe que cada uma dessas expressões é igual a d multiplicado por uma constante positiva. Portanto, a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos de 1/√a1, 1/√a2, 1/√a3, … , 1/√an é constante, o que significa que eles formam uma PA.