Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e centro de massa associados a regiões multidimensionais. Nesse conte...

Para calcular a massa da região S, podemos utilizar a fórmula da integral tripla: M = ∭ρ(x,y,z) dV Nesse caso, a densidade ρ(x,y,z) é dada por ρ(x,y,z) = 3xy. A região S é limitada superiormente pelo plano 2x + 3y + z - 6 = 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy, dentro da região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Podemos escrever a integral tripla da seguinte forma: M = ∭ρ(x,y,z) dV = ∭(3xy) dV Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável. Como a região S está limitada superiormente pelo plano 2x + 3y + z - 6 = 0, podemos escrever z = 6 - 2x - 3y. Além disso, sabemos que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Agora, vamos calcular a integral tripla: M = ∭(3xy) dV = ∫[0,1] ∫[0,1] ∫[0,6-2x-3y] (3xy) dz dy dx Integrando em relação a z, temos: M = ∫[0,1] ∫[0,1] [3xyz]∣[0,6-2x-3y] dy dx M = ∫[0,1] ∫[0,1] 3xy(6-2x-3y) dy dx Integrando em relação a y, temos: M = ∫[0,1] [3xy(6-2x-3y)]∣[0,1] dx M = ∫[0,1] 3x(6-2x-3y) - 3xy(6-2x-3y) dy dx Integrando em relação a x, temos: M = [∫[0,1] 3x(6-2x-3y) - 3xy(6-2x-3y) dy]∣[0,1] M = [∫[0,1] (18x - 6x^2 - 9xy - 6xy + 2x^2y + 3y^2) dy]∣[0,1] M = ∫[0,1] (18x - 6x^2 - 15xy + 2x^2y + 3y^2) dy Agora, podemos integrar em relação a y: M = [18xy - 3x^2y - (15/2)xy^2 + (x^2/2)y^2 + y^3]∣[0,1] M = 18x - 3x^2 - (15/2)x + (x^2/2) + 1/4 Agora, vamos calcular a integral definida para x variando de 0 a 1: M = [18x - 3x^2 - (15/2)x + (x^2/2) + 1/4]∣[0,1] M = 18 - 3 - (15/2) + (1/2) + 1/4 M = 1/4 Portanto, a massa da região S é igual a 1/4. A alternativa correta é a letra c) 1.