4) Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e centro de massa associados a regiões multidimensionais. Nesse co...

4) Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e centro de massa associados a regiões multidimensionais. Nesse contexto, seja, no espaço cartesiano, a região S limitada superiormente pelo plano 2x + 3y + z - 6 = 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy e dentro da região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Se a densidade dessa região S é dada por ρ(x,y,z) = 3xy, qual é a massa dessa região S? Selecione uma alternativa: a) -4 b) 0 c) 1 d) 2 e) 6

Engenharia Mecânica

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UNOPAR

Lucas silva

09/08/2023

Respostas

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09.08.2023

Para calcular a massa da região S, precisamos calcular a integral tripla da densidade ρ(x, y, z) = 3xy sobre a região S. A região S é limitada superiormente pelo plano 2x + 3y + z - 6 = 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy, dentro da região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Podemos escrever a integral tripla da seguinte forma: M = ∭S ρ(x, y, z) dV Onde dV é o elemento de volume. Para resolver essa integral tripla, podemos usar coordenadas cartesianas. A integral tripla se torna: M = ∫₀¹ ∫₀¹ ∫₀^(6-2x-3y) 3xy dz dy dx Resolvendo essa integral, encontramos: M = 1 Portanto, a massa da região S é igual a 1. A alternativa correta é a letra c) 1.