Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e centro de massa associados a regiões multidimensionais. Nesse contex...

Para calcular a massa da região S, utilizamos a fórmula da integral tripla da densidade ρ(x, y, z) sobre a região S. Nesse caso, a densidade é dada por ρ(x, y, z) = 3xy. A região S é limitada superiormente pelo plano 2x + 3y + z - 6 = 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy, dentro da região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1. Portanto, a integral tripla da densidade ρ(x, y, z) sobre a região S é dada por: ∭S ρ(x, y, z) dV Para calcular essa integral, devemos integrar a função ρ(x, y, z) = 3xy em relação a x, y e z, nos limites adequados da região S. Integrando em relação a x, temos: ∫[0,1] ∫[0,1] ∫[0,6-2x-3y] 3xy dz dy dx Integrando em relação a y, temos: ∫[0,1] ∫[0,1] [∫[0,6-2x-3y] 3xy dz] dy dx Integrando em relação a z, temos: ∫[0,1] ∫[0,1] [3xyz]│[0,6-2x-3y] dy dx Simplificando a expressão, temos: ∫[0,1] ∫[0,1] [3xy(6-2x-3y)] dy dx Resolvendo essa integral, encontramos a massa da região S. Calculando essa integral, obtemos o valor da massa da região S.