Questão 43 Determine k para que o triângulo de vértices A(−2,1), B(1,2) e C(k,−1) seja retângulo em C. Questão 44 Determine, se possível, k para q...

Questão 43: Para que o triângulo de vértices A(-2,1), B(1,2) e C(k,-1) seja retângulo em C, devemos verificar se o produto dos vetores AB e AC é igual a zero. O vetor AB é dado por AB = B - A = (1 - (-2), 2 - 1) = (3, 1). O vetor AC é dado por AC = C - A = (k - (-2), -1 - 1) = (k + 2, -2). Agora, vamos calcular o produto escalar entre AB e AC: AB · AC = (3, 1) · (k + 2, -2) = 3(k + 2) + (-2)(1) = 3k + 6 - 2 = 3k + 4. Para que o triângulo seja retângulo em C, o produto escalar AB · AC deve ser igual a zero: 3k + 4 = 0. Resolvendo a equação, temos: 3k = -4, k = -4/3. Portanto, o valor de k para que o triângulo seja retângulo em C é k = -4/3. Questão 44: Para que o triângulo de vértices A(-2, k+2), B(1,2) e C(5,-1) seja retângulo em B, devemos verificar se o produto dos vetores BA e BC é igual a zero. O vetor BA é dado por BA = A - B = (-2 - 1, k + 2 - 2) = (-3, k). O vetor BC é dado por BC = C - B = (5 - 1, -1 - 2) = (4, -3). Agora, vamos calcular o produto escalar entre BA e BC: BA · BC = (-3, k) · (4, -3) = (-3)(4) + k(-3) = -12 - 3k. Para que o triângulo seja retângulo em B, o produto escalar BA · BC deve ser igual a zero: -12 - 3k = 0. Resolvendo a equação, temos: -3k = 12, k = -12/(-3), k = 4. Portanto, o valor de k para que o triângulo seja retângulo em B é k = 4.